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文档简介

利用导数研究函数的单调性是高考的热点 多与一元二次不等式相联系 根据导数与函数单调性的关系 研究函数的单调性 实际上就是讨论导函数f x 的函数值正负的问题 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 思路点拨 1 通过f x 0求单调递增区间 2 转化为恒成立问题 求a 规范解答 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 当a 0时 有f x 0在r上恒成立 当a 0时 有x lna 综上 当a 0时 f x 的单调增区间为 当a 0时 f x 的单调增区间为 lna 2 当a 0时 f x ex ax 1 f x ex a f x 在r上单调递增 f x ex a 0恒成立 即a ex x r恒成立 x r时 ex 0 a 0 当a 0时 f x ex在r上单调递增 f x 0恒成立 故当a 0时 f x 在定义域r内单调递增 反思启迪 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 设0 a 1 讨论函数f x lnx a 1 a x2 2 1 a x的单调性 利用导数判断函数的零点个数是近两年高考命题的亮点 求解时应把函数的零点存在性定理 函数的单调性 极值点等综合起来考虑 最后数形结合求得结果 思路点拨 1 分a 0 a 0和a 0三种情况求函数f x 的最大值 2 先用零点存在性定理判断有无零点 再根据函数的单调性判断零点的个数 常见题型及转化方法 1 不等式恒成立问题 转化为函数的最值问题 2 证明不等式 转化为证明函数的单调性问题 3 证明不等式 转化为函数的最小值大于最大值问题 思路点拨 1 不等式恒成立问题 转化为函数最大值小于或等于0求解 2 利用函数的单调性求解 反思启迪 1 本题 1 中f x g x 恒成立 则g x 的图象应恒
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