高考数学总复习 第十章 第一节相似三角形的判定及其有关性质课件 文.ppt

第一节相似三角形的判定及其有关性质 第十章选考部分 课前自修 知识梳理 一 相似三角形的定义对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比值叫做相似比 或相似系数 二 相似三角形的判定1 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 2 两角对应相等的两个三角形相似 3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 三边对应成比例的两三角形相似 直角三角形相似的判定 1 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 那么它们相似 2 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么它们相似 3 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 三 相似三角形的性质1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于相似比 外接圆的面积比等于相似比的平方 四 有关比例的几个重要定理1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一边 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 3 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项 基础自测 1 如图 在 abc中 aed b de 6 ab 10 ae 8 则bc的长为 2 如图 cd是rt abc斜边ab上的高 将 bcd沿cd折叠 b点恰好落在ab的中点e处 则 a 解析 由题意知 bc ec 在rt acb中 e是斜边ab的中点 ec eb ea ec eb bc ecb为正三角形 b 60 a 30 答案 30 3 2011 长沙市模拟 如图 在 abc中 点d是ac的中点 点e是bd的中点 ae交bc于点f 则 答案 4 如图 在四边形abcd中 ef bc fg ad 则 答案 1 考点探究 考点一 平行线分线段成比例定理的运用 例1 如图 在梯形abcd中 ad bc ef经过梯形对角线的交点o 且ef ad 1 求证 oe of 2 求的值 3 求证 思路点拨 根据平行线分线段成比例定理 借助中间比例式进行转换 即可得出结果 点评 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 有时图形中没有平行线 要添加辅助线 构造相关图形 创造可以形成比例式的条件 达到证明的目的 变式探究 1 如图所示 已知 abc中 ad是bc边上的中线 点e是ad的中点 be的延长线交ac于点f 则 解析 过点d作dg bf交ac于点g 点d是bc中点 dg是 cbf的中位线 fg cg 同理可证af fg af ac 答案 考点二 三角形内 外 角平分线的性质 例2 证明 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比 思路点拨 原题可化为 已知 如图 ad是 abc的角平分线 求证 要证比例式 可以考虑利用平行线 于是可以过点c作ce da 与ba的延长线交于点e 这样就能用平行线截割定理 证明 过点c作ce da 与ba的延长线交于点e ce da aec bad dac ace 又 ad是 bac的角平分线 bad dac ace aec ac ae 由平行线截割定理知 点评 在几何证明中 如果题目给的条件较为分散 可以通过添加辅助线 使分散的条件适当集中 如果能熟练掌握几个基本图形 把所要证明的图形转化为基本图形 可使证明思路更明确 更快捷 变式探究 2 如图所示 在 abc中 ad是 bac的外角的平分线 求证 ab ac bd dc 证明 如图 过点d作de ca 与ba的延长线交于点e de ca dac ade 又 ad是 bac的外角平分线 ead dac ade ead de ae 考点三 相似三角形的判定和性质 例3 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd 点e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 1 求证 edm fbm 2 若db 9 求bm 1 证明 点e是ab的中点 ab 2be 又 ab 2cd cd eb 又ab cd 四边形cbed是平行四边形 解析 edm fbm 点f是bc的中点 de 2fb dm 2bm bm db 3 点评 1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 变式探究 3 如图所示 在 abcd中 bc 24 e f为bd的三等分点 则bm dn 考点四 直角三角形射影定理的应用 例4 如图 已知在 abc中 cd ab于d bc2 bd ab ac 3 bc 4 则 思路点拨 根据已知条件 先判断出 abc为直角三角形 然后再用射影定理求出比值 解析 bc2 bd ab 即 且 b是公共角 bcd abc cd ab 即 bdc 90 则 c 90 abc为直角三角形 由射影定理知 ac2 ad ab bc2 bd ab 两式相除得 变式探究 4 在rt abc中 cab 90 ad bc于d ab ac 3 2 则cd bd 解析 在rt abc中 cab 90 ad bc于d 由射影定理得ab2 bd bc ac2 cd bc 即cd bd 4 9 答案 4 9点评 利用直角三角形的射影定理解决问题首先要确定直角边与其射影 再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 1 解平面几何问题 重要的一点就是作出恰当的辅助线 相似关系的基础就是平行线分线段成比例定理 故作辅助线的主要方法就是做平行线 若为中点 则取中点连线利用中位线定理 若为比例点 则取等比的分点构造平行关系 截取等长度构造全等关系 感悟高考 品味高考 2 如图 b