高考数学 第二章 第九节函数与方程课件 理.ppt

第九节函数与方程 1 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 我们把使 的实数x叫做函数y f x 的零点 2 零点与相应方程根 函数图象与x轴交点横坐标间的关系 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 f x 0 实数根 零点 交点 即时应用 1 函数f x x3 x的零点是 2 函数f x lgx 的零点个数是 解析 1 令f x 0 即x3 x 0解得x 0 1 1 f x 的零点为 1 0 1 2 由等价关系 零点个数转化为方程lgx 0的根的个数 lgx 即又转化为函数y lgx与y 图象交点个数 由图象得 有一个交点 答案 1 1 0 1 2 1 2 零点存在性定理如果函数y f x 满足 1 在闭区间 a b 上 2 0 则函数y f x 在 a b 上存在零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 连续 f a f b 即时应用 1 若函数y f x 在区间 a b 上的图象为连续不断的一条曲线 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若f a f b 0 则不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能不存在实数c a b 使得f c 0 2 在零点存在性定理的条件下 当f x 是 时 在区间 a b 内f x 有唯一的一个零点 3 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的最短区间为 区间端点为整数 4 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 1 如图甲的情况可判断 错 正确 如图乙的情况可判断 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 2 由零点存在性定理容易判断f x 是单调函数即可 3 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 故只有区间 1 2 满足 4 由f 0 f 1 1 答案 1 2 单调函数 3 1 2 4 m 1 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 即时应用 1 二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 2 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 1 c f 0 a c a f 0 0 即a和f 0 异号 即 或 函数必有两个零点 2 当a 0时 则f x x 1 易知函数只有一个零点 当a 0时 则函数为二次函数 仅有一个零点 即 1 4a 0 a 综上 当a 0或a 时 函数只有一个零点 答案 1 2 2 a a 0或 4 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 2 用二分法求函数零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点c 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f a f b 0 即时应用 1 已知f x x3 x2 2x 2 f 1 f 2 0 用二分法求f x 在 1 2 内的零点时 第一步是 2 用 二分法 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 1 根据二分法求函数零点近似值的步骤 已知f 1 f 2 0 f 3 0 所以下一个有根的区间是 2 2 5 答案 1 求区间 1 2 的中点为 2 2 2 5 热点考向1确定函数零点所在的区间 方法点睛 判断函数y f x 在某个区间是否存在零点的常用方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可通过解方程 再看方程是否有根落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否存在f a f b 0 若存在 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 例1 1 函数f x ln x 2 的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 2 2013 厦门模拟 设函数y x3与的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 规范解答 1 选c 由题意知函数f x 的定义域为 x x 2 排除a f 3 0 f 5 ln3 0 f 3 f 4 0 函数f x 的零点在 3 4 之间 故选c 2 设则x0是函数f x 的零点 在同一坐标系下画出函数y x3与的图象如图所示 f 1 f 2 0 x0 1 2 答案 1 2 变式备选 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 选c 因为f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 故选c 热点考向2函数零点个数的判断 方法点睛 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 例2 2012 天津高考 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 规范解答 选b 由f x 2x x3 2得f 0 1 0 f 1 1 0 f 0 f 1 0 又 函数在定义域上为增函数 故选b 变式训练 1 2012 福州模拟 a 1 是 函数f x ax2 2x 1只有一个零点 的 a 充分而必要条件 b 充分而不必要条件 c 必要而不充分条件 d 既不充分又不必要条件 解析 选b a 1 a 1或a 0 f x ax2 2x 1只有一个零点 2 函数y sinx lgx的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选d 令函数y sinx lgx 0即sinx lgx 设y1 sinx y2 lgx 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数 y2 lgx过 1 0 点和 10 1 点 与y1 sinx的交点个数是3 函数的零点的个数是3 故选d 变式备选 1 判断函数f x log2 x 2 x 1 x 3 是否存在零点 解析 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2 x 2 与函数y x的图象 观察知 两函数在 1 3 上有一个交点 即函数f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 方法二 显然函数f x log2 x 2 x在 1 3 上是连续不断的 f 1 log2 1 2 1 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 2 判断函数f x x3 x2 4x在 1 1 上零点的个数 并说明理由 解析 显然函数f x x3 x2 4x在 1 1 上是连续不断的 f 1 1 3 1 2 4 1 0 f 1 13 12 4 1 0 又 f x 2x2 2x 4 2 x 2 当 1 x 1时 0 f x f x x3 x2 4x在 1 1 上是单调递增函数 f x 在 1 1 上只有一个零点 热点考向3由函数零点的存在情况求参数的取值 方法点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 例3 2012 泉州模拟 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有实数根 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题指南 解答 1 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 2 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而数形结合求解 规范解答 1 方法一 g x x 2 2e 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有实数根 方法二 作出g x x x 0 的大致图象如图 可知若使g x m有实数根 则只需m 2e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出g x x x 0 的大致图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 反思 感悟 有些二次 高次 分式 指数 对数及三角式 含绝对值方程根的存在问题 常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解 变式训练 已知f x 2x2 bx c 不等式f x 0的解集是 0 5 1 求f x 的解析式 2 已知g x f x mx 6 求当m为何值时 g x 为偶函数 3 若g x f x mx 6在 1 2 上的最小值为h m 试讨论h m k 0的零点个数 k为常数 解析 1 由已知得2x2 bx c 0的解集是 0 5 x1 0 x2 5是方程2x2 bx c 0的两根 则0 5 0 5 解得b 10 c 0 f x 2x2 10 x 2 由已知得g x 2x2 m 10 x 6为偶函数 则g x g x 即2x2 m 10 x 6 2x2 m 10 x 6解得m 10 3 g x 2x2 m 10 x 6 则它的对称轴是x 当 1 即m 6时 y g x 在x 1 2 上单调递增 故h m g 1 m 14 当1 2 即2 m 6时 y g x x 1 2 在x 取最小值 于是h m g 当 2 即m 2时 y g x 在x 1 2 上单调递减 故h m g 2 2m 18 综上所述 h m 由题意知 h m k 0根的个数等价于函数y h m 与y k两个图象公共点的个数 由y h m 的解析式 可知y h m 在r上单调递增 结合图象知 不论k为何值 方程h m k 0总存在唯一的实数根 h m k 0有1个零点 1 2012 北京高考 函数的零点的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选b 在同一平面直角坐标系内作出与的图象如图所示 易知 两函数图象只有一个交点 因此函数只有1个零点 2 2012 湖北高考 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 a 4 b 5 c 6 d 7 解析 选c 由方程xcosx2 0在区间 0 4 上的根有x1 0 因此共有6个零点 3 2013 厦门模拟 已知函数f x 2x x g x x log2x h x x3 x的零点依次为a b c 则a b c的大小顺序正