湖南省怀化市湖天中学高中数学《22 数学归纳法的应用举例》课件 新人教版选修2.ppt

数学归纳法及其应用举例 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 其格式主要有两个步骤 一个结论 1 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 验证初始条件 2 假设n k时结论正确 在假设之下 证明n k 1时结论也正确 假设推理 3 由 1 2 得出结论点题 找准起点奠基要稳 用上假设递推才真 写明结论才算完整 一 复习引入 1 数学归纳法是一种完全归纳法 它是在可靠的基础上 利用命题自身具有的传递性 运用 有限 的手段 来解决 无限 的问题 2 它克服了完全归纳法的繁杂 不可行的缺点 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足 使我们认识到事情由简到繁 由特殊到一般 由有限到无穷 数学归纳法的核心思想 例1 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 1 数学归纳法证明等式问题 二 数学归纳法应用举例 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 例2 已知正数数列 an 中 前n项和为sn 且用数学归纳法证明 证 1 当n 1时 1 结论成立 2 假设当n k时 结论成立 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论都成立 2 数学归纳法证明整除问题 例1 用数学归纳法证明 当n为正偶数时 xn yn能被x y整除 证 1 当n 2时 x2 y2 x y x y 即能被x y整除 故命题成立 2 假设当n 2k时 命题成立 即x2k y2k能被x y整除 则当n 2k 2时 有 都能被x y整除 故x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n 2k 2时命题成立 由 1 2 知原命题对一切正偶数均成立 例2 用数学归纳法证明 能被8整除 证 1 当n 1时 a1 5 2 1 8 命题显然成立 2 假设当n k时 ak能被8整除 即是8的倍数 那么 因为ak是8的倍数 3k 1 1是偶数即4 3k 1 1 也是8的倍数 所以ak 1也是8的倍数 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知对一切正整数n an能被8整除 例3 求证 x3n 1 x3n 2 1能被x2 x 1整除 证 1 当n 1时 x3n 1 x3n 2 1 x2 x 1 从而命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x3k 1 x3k 2 1能被x2 x 1整除 则当n k 1时 x3 k 1 1 x3 k 1 2 1 x3k 2 x3k 1 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x3 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x 1 x2 x 1 因为x3k 1 x3k 2 1 x2 x 1都能被x2 x 1整除 所以上式右边能被x2 x 1整除 即当n k 1时 命题成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 命题成立 例1 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n n 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k n k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 3 数学归纳法证明几何问题 练习 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线的条数f n 1 f n n 1 4 数学归纳法证明不等式问题 例1 用数学归纳法证明 证 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例2 证明不等式 证 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式显然成立 2 假设当n k时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 根据 1 2 可知 原不等式对一切正整数都成立 例3 求证 证 1 当n 1时 左边 右边 由于故不等式成立 2 假设n k 时命题成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例4 已知x 1 且x 0 n n n 2 求证 1 x n 1 nx 左边 1 x k 1 1 x k 1 x 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 右边 1 k 1 x 因为kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当n k 1时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 证明 1 当n 2时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 1时不等式成立 2 假设n k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx当n