高中数学 （主干知识+典例精析）2.10函数的应用课件 理 新人教B版.ppt

第十节函数的应用 三年9考高考指数 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 1 函数模型的应用是高考考查的重点 2 建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点 常与导数 均值不等式 函数的单调性 最值等交汇出现 主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 3 选择题 填空题 解答题三种题型都有所涉及 但以解答题为主 属中档题 1 三种函数模型性质比较 相对平稳 随n值变化而不同 即时应用 1 当x越来越大时 判断下列四个函数中 增长速度最快的是 y 2x y x10 y lgx y 10 x2 2 函数y 2x与y x2的图象的交点个数是 3 当2 x 4时 2x x2 log2x的大小关系是 解析 1 由函数图象知 当x越来越大时 y 2x的增长速度最快 2 由y 2x与y x2的图象知有3个交点 3 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2x y x2 y 2x的图象 在区间 2 4 内从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图象 所以x2 2x log2x 答案 1 2 3 3 x2 2x log2x 2 常见的几种函数模型 1 直线模型 一次函数模型y 图象增长特点是直线式上升 x的系数k 0 通过图象可以直观地认识它 特例是正比例函数模型y 2 反比例函数模型 y 增长特点是y随x的增大而减小 3 指数函数模型 y a bx c b 0 b 1 a 0 其增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 底数b 1 a 0 常形象地称为指数爆炸 kx b k 0 kx k 0 4 对数函数模型 y mlogax n a 0 a 1 m 0 型 增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 底数a 1 m 0 5 幂函数模型 y a xn b a 0 型 其中最常见的是二次函数模型 a 0 其特点是随着自变量的增大 函数值先减小 后增大 a 0 y ax2 bx c 6 分段函数模型 其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的取值范围 特别是端点 即时应用 1 据报道 全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 如果按此速度 设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m 从2011年起 经过x年后 北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 2 某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后期增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用六种常见模型中的 3 某航空公司规定 乘机所携带行李的质量 kg 与其运费 元 由如图的一次函数图象确定 那么乘客可免费携带行李的质量最大为 解析 1 设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a 则由题意得1 0 05 a50 a y x n 2 由增长特点知应选对数函数模型 3 设一次函数为y kx b 则由函数图象知解得k 30 b 570 y 30 x 570 当y 0时x 19 答案 1 y x n 2 对数函数模型 3 19kg 用函数刻画实际问题 方法点睛 用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律 如增长的快慢 最大 最小等 与函数的性质 如单调性 最值等 图象 增加 减少的缓急等 相吻合即可 例1 如图所示 向高为h的容器a b c d中同时以等速注水 注满为止 1 若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的 a 则容器的形状是 2 若水量v与水深h的函数图象是下图中的 b 则容器的形状是 3 若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的 c 则容器的形状是 4 若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的 d 则容器的形状是 解题指南 根据实际问题中水深h 水量v和注水时间t之间的关系 结合图象使之吻合即可 规范解答 1 该题图中的 a 说明了注入水的高度是匀速上升的 只有c中的容器能做到 所以应填c 2 该题图中的 b 说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快 在已知的四个容器中 只有a中的容器能做到 所以应填a 3 该题图中的 c 说明水深h与注水时间之间的对应关系 且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快 在已知的四个容器中 只有d中的容器能做到 所以应填d 4 该题图中的 d 说明水深h与注水时间t之间的对应关系 且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快 在已知的四个容器中 只有b中的容器能做到 所以应填b 答案 1 c 2 a 3 d 4 b 反思 感悟 对于函数图象类问题 主要是反映自变量与函数值之间的变化规律 因此抓住自变量的变化所产生的函数值是如何变化的 就容易排除干扰选项而得出答案 变式训练 如图所示 一质点p x y 在xoy平面上沿曲线运动 速度大小不变 其在x轴上的投影点q x 0 的运动速度v v t 的图象大致为 解析 选b 由图可知 当质点p x y 在两个封闭曲线上运动时 投影点q x 0 的速度先由正到0 到负数 再到0 到正 故a错误 质点p x y 在终点的速度是由大到小接近0 故d错误 质点p x y 在开始时沿直线运动 故投影点q x 0 的速度为常数 因此c是错误的 故选b 利用已知函数模型解决实际问题 方法点睛 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式 或可确定其函数模型的图象 求解时先用待定系数法求出函数关系式中相关参数的值 再用求得的函数关系式解决实际问题 提醒 要结合实际意义限制自变量的范围 例2 1 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x n 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 销售收入不小于总成本 的最低产量是 a 100台 b 120台 c 150台 d 180台 2 为了预防流感 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 药物释放完毕后 y与t的函数关系式为y t a a为常数 如图所示 根据图中提供的信息 求从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式为 解题指南 1 结合二次函数的性质及实际意义解题即可 2 结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式 规范解答 1 选c 要使生产者不亏本 则有3000 20 x 0 1x2 25x 解上式得 x 200或x 150 又 0 x 240 x n x的最小值为150 2 药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 则设函数y kt k 0 将点 0 1 1 代入可得k 10 则y 10t 将点 0 1 1 代入y t a 得a 则所求关系式为y 答案 y 互动探究 本例 2 中题干不变 若据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 解析 由本例 2 知 令 0 25 得t 0 6 即从药物释放开始 至少需要经过0 6小时后 学生才能回到教室 答案 0 6 反思 感悟 解决这类已给出数学模型的实际问题 关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况 从而代入求得其关系式 变式备选 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 解析 1 若m 2 则 2 2t 21 t 2 2t t 0 当 5时 2t 令x 2t 则x 1 则x 即2x2 5x 2 0 解得x 2或x 舍去 此时t 1 所以经过1分钟 物体的温度为5摄氏度 2 物体的温度总不低于2摄氏度 即 2恒成立 亦m 2t 2恒成立 亦即m 2 恒成立 令y 则0 y 1 m 2 y y2 由于y y2 m 因此 当物体的温度总不低于2摄氏度时 m的取值范围是 自建函数模型解决实际问题 方法点睛 建立函数模型解决实际问题的步骤 1 审题 深刻理解题意 分清条件和结论 理顺其中的数量关系 把握其中的数学本质 2 建模 由题设中的数量关系 建立相应的数学模型 将实际问题转化为数学问题 3 解模 用数学知识和方法解决转化出的数学问题 4 还原 回到题目本身 检验结果的实际意义 给出结论 例3 2011 山东高考 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解题指南 1 先利用球和圆柱的体积公式 找出l与r的关系 再利用球与圆柱的表面积公式 将y表示为r的函数表达式 2 利用导数判断函数的单调性 进而求得函数y的最值 规范解答 1 设容器的容积为v 由题意知v 又v 故l 由于l 2r 因此0 r 2 所以建造费用y 2 rl 3 4 r2c 因此 2 由 1 得y 由于c 3 所以c 2 0 当时 令 则m 0 所以y 当0 m 2 即c 时 当r m时 y 0 当r 0 m 时 y 0 当r m 2 时 y 0 所以r m是函数y的极小值点 也是最小值点 当m 2 即3 c 时 当r 0 2 时 y 0 函数单调递减 所以r 2是函数y的最小值点 综上所述 当3 c 时 建造费用最小时r 2 当c 时 建造费用最小时 反思 感悟 解决这类问题常见的两个误区 1 不会将实际问题转化为函数模型 从而无法求解 2 在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件 变式训练 2012 西安模拟 据气象中心观察和预测 发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度v km h 与时间t h 的函数图象如图所示 过线段oc上一点t t 0 作横轴的垂线l 梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t h 内沙尘暴所经过的路程s km 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若n城位于m地正南方向 且距m地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 s 4 12 24 km 2 当0 t 10时 s t 3t 当10 t 20时 s 10 30 30 t 10 30t 150 当20 t 35时 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 综上 可知 3 t 0 10 时 smax t 10 20 时 smax 30 20 150 450 650 当t 20 35 时 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 20 t 35 t 30 沙尘暴发生30h后将侵袭到n城 变式备选 2012 威海模拟 为了夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗 房屋的屋顶和外墙要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设总费用f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解析 1 设隔热层厚度为xcm 由题设 每年消耗能源的费用为再由c 0 8得k 40 因此而建造费用为c1 x 6x 则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f x 20c x c1 x 2 令f x 0 即解得x 5 舍 当0 x 5时 f x 0 当5 x 10时 f x 0 故x 5是f x 的最小值点 对应的最小值为当隔热层为5cm厚时 总费用达到最小值70万元 满分指导 函数模型应用解答题的规范解答 典例 12分 2011 江苏高考 请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 某广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解题指南 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数 然后根据二次函数的最值求法和导数法求解 规范解答 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得a x h 0 x 30 2分 1 s 4ah 8x 30 x 4分 8 x 15 2 1800 所以当x 15时 s取得最大值 6分 2 v a2h 8分v 由v 0得x 0 舍 或x 20 9分当x 0 20 时 v 0 当x 20 30 时 v 0 所以当x 20时 v取得极大值 也是最大值 11分 此时即包装盒的高与底面边长的比值 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 青岛模拟 牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系 若牛奶放在0 的冰箱中 保鲜时间约是192h 而在22 的厨房中则约是42h 则保鲜时间y h 关于储藏温度x 的函数解析式是 解析 选d 设y a bx 则由已知得 解得 y 2 2012 淄博模拟 某工厂八年来产品总产量c 即前t年年产量之和 与时间t 年 的函数如图 则下列四种说法 前三年中 产量增长的速度越来越快 前三年中 产量增长的速度越来越慢 第三年后 这种产品停止生产 第三年后