高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第六节数列的综合问题课件 理.ppt

第六节数列的综合问题 第五章 例1 设 an 是公比不为1的等比数列 其前n项和为sn 且a5 a3 a4成等差数列 1 求数列 an 的公比 2 证明 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 等差 等比数列知识的综合 自主解答 1 解析 设数列 an 的公比为q q 0 q 1 由a5 a3 a4成等差数列 得2a3 a5 a4 即2a1q2 a1q4 a1q3 由a1 0 q 0 得q2 q 2 0 解得q1 2 q2 1 舍去 所以q 2 2 证明 法一 对任意k n sk 2 sk 1 2sk sk 2 sk sk 1 sk ak 1 ak 2 ak 1 2ak 1 ak 1 2 0 所以 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 点评 求解等差 等比数列的综合问题 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 根据已知条件列出正确的方程或者方程组 求出数列的基本量 这样过程往往用到转化与化归的思想方法 因此 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 变式探究 解析 设等差数列的公差为d 则 1 9 4d 得d 2 而a1 a3 2d 4 b 9 1 9 且b2 0 所以b2 3 所以故选d 答案 d 数列与函数知识的综合 自主解答 3 证明 由 1 知lg 1 an 2n 1 lg 1 a1 2n 1 lg3 lg32n 1 1 an 32n 1 tn 1 a1 1 a2 1 an 320 321 322 32n 1 31 2 22 2n 1 32n 1 点评 数列与函数的综合问题 一般是通过研究函数的性质 图象进而解决数列问题 变式探究 2 2013 杭州名校模考 如图所示 设曲线y 上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形 ob1a1 a1b2a2 直角顶点在曲线y 上 设an的坐标为 an 0 a0为原点 1 求a1 并求出an和an 1 n n 之间的关系式 2 求数列 an 的通项公式 3 设bn n n 求数列 bn 的前n项和sn 例3 已知f x x 1 2 g x 10 x 1 数列 an 满足a1 2 an 1 an g an f an 0 bn n 2 an 1 1 求证 数列 an 1 是等比数列 2 当n取何值时 bn取最大值 并求出bn的最大值 数列与不等式的综合 点评 数列与不等式的综合问题有两类 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 有时利用放缩法证明 变式探究 3 已知各项都是正数的等比数列 an 中 存在两项am an m n n 使得 4a1 且a7 a6 2a5 则的最小值是 解析 设等比数列的公比为q q 0 则a5q2 a5q 2a5 解得q 2 aman a 2m n 2 42a 得m n 6 等号在m 2 n 4时成立 故选a 答案 a 数列与算法的综合 例4 2012 常州模拟 根据如图所示的程序框图 将输出的x y值依次分别记为x1 x2 xn x2012 y1 y2 yn y2012 1 求数列 xn 的通项公式xn 2 写出y1 y2 y3 y4 由此猜想出数列 yn 的一个通项公式yn 并证明你的结论 3 求zn x1y1 x2y2 xnyn x n n 2012 解析 1 由框图知 数列 xn 中 x1 1 xn 1 xn 2 xn 1 2 n 1 2n 1 n n n 2012 2 由框图知 数列 yn 中 yn 1 3yn 2 y1 2 y2 8 y3 26 y4 80 由yn 1 3yn 2 得yn 1 1 3 yn 1 3 y1 1 3 数列 yn 1 是以3为首项 3为公比的等比数列 yn 1 3 3n 1 3n yn 3n 1 n n n 2012 数列 yn 1 是以3为首项 3为公比的等比数列 yn 1 3 3n 1 3n yn 3n 1 n n n 2012 3 zn x1y1 x2y2 xnyn 1 3 1 3 32 1 2n 1 3n 1 1 3 3 32 2n 1 3n 1 3 2n 1 记sn 1 3 3 32 2n 1 3n 则3sn 1 32 3 33 2n 1 3n 1 得 2sn 3 2 32 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 2 3 32 3n 3 2n 1 3n 1 2 3 2n 1 3n 1 3n 1 6 2n 1 3n 1 2 1 n 3n 1 6 sn n 1 3n 1 3 又1 3 2n 1 n2 zn n 1 3n 1 3 n2 n n n 2012 点评 解答数列与算法的综合问题的一般步骤 1 读懂程序框图 把算法语言转化为数学语言 2 确定数列的类型 选择对应的定义 公式求解问题 变式探究 4 执行如图所示的算法框图 若p 4 则输出的s 解析 程序执行过程为 n 1 s 数列的实际应用 例5 2013 扬州质检 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍 并且每年年底固定给股东们分红500万元 该企业2008年年底分红后的资金为1000万元 1 求该企业2012年年底分红后的资金 2 求该企业到哪一年年底分红后的资金超过32500万元 解析 设an为 2008 n 年年底分红后的资金 其中n n 则a1 2 1000 500 1500 a2 2 1500 500 2500 an 2an 1 500 n 2 an 500 2 an 1 500 n 2 即数列 an 500 是首项为a1 500 1000 公比为2的等比数列 an 500 1000 2n 1 an 1000 2n 1 500 1 a4 1000 24 1 500 8500 该企业2012年年底分红后的资金为8500万元 2 由an 32500 即2n 1 32 得n 6 该企业2015年年底分红后的资金超过32500万元 点评 解答数列应用题的步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数列语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到实际问题中 变式探究 5 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学 该商场向他提供了三种付酬方案 第一种 每天支付38元 第二种 第一天付4元 第二天付8元 第三天付12元 依此类推 第三种 第一天付0 4元 以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍 工作时间为n天 1 工作n天 记三种付费方式薪酬总金额依次为an bn cn 写出an bn cn关于n的表达式 2 如果n 10 你会选择哪种方式领取报酬 解析 1 三种付酬方式每天金额依次为数列 an bn cn 它们的前n项和依次分别为an bn cn 依题意 第一种付酬方式每天金额组成数列 an 为常数数列 an 38n 第二种付酬方式每天金额组成数列 bn 为首项为4 公差为4的等差数列 则bn 4n 4 2n2 2n 第三种付酬方式