高三数学一轮复习 6.1不等关系及一元二次不等式的解法课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解现实世界和日常生活中的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 掌握不等式的性质及应用 2 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 3 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的关系 4 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的流程图 1 以不等式的大小关系比较和一元二次不等式的解法为主 2 已知二次函数的零点的分布 求一元二次方程中未知参数的取值范围2012年高考t13 3 与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识 归纳知识整合 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 x xx2 x x1 x x2 r 探究 1 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 a 0 对一切x r都成立的条件是什么 自测牛刀小试 1 教材习题改编 已知集合a x x2 160 则a b 解析 由x2 160 得x 3或x3或x 1 故a b x 4 x 1或3 x 4 答案 x 4 x 1或3 x 4 答案 x 1 x 3 答案 6 4 教材习题改编 若关于x的一元二次方程x2 m 1 x m 0有两个不相等的实数根 则m的取值范围为 5 不等式x2 ax 40 即a2 16 a 4或a 4 答案 4 4 用不等式 组 表示不等关系 例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售 每天可销售100件 现在他采用提高售价 减少进货量的办法增加利润 已知这种商品的售价每提高1元 销售量就可能相应减少10件 若把提价后商品的售价设为x元 怎样用不等式表示每天的利润不低于300元 文字语言 大于 高于 超过 小于 低于 少于 大于等于 至少 不低于 小于等于 至多 不超过 符号语言 实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 组 时 应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换 常见的文字语言及其转换关系如下表 1 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在a b两种设备上加工 在每台a b设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时 a b两种设备每月有效使用台时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式 一元二次不等式的解法 若将本例 2 改为 x2 4x 5 0 呢 解 42 4 5 16 20 4 0 不等式x2 4x 5 0的解集为 一元二次不等式的解法 1 对于常系数一元二次不等式 可以用因式分解法或判别式法求解 2 对于含参数的不等式 首先需将二次项系数化为正数 若二次项系数不能确定 则需讨论它的符号 然后判断相应的方程有无实根 最后讨论根的大小 即可求出不等式的解集 1 解下列不等式 1 8x 1 16x2 2 x2 2ax 3a2 0 a 0 解 1 原不等式转化为16x2 8x 1 0 即 4x 1 2 0 故原不等式的解集为r 2 原不等式转化为 x a x 3a 0 a 0 3a a 原不等式的解集为 x 3a x a 例3 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 自主解答 1 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图象全部在x轴下方 当m 0时 1 2x 0 不符合题意 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 一元二次不等式的恒成立问题 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围 设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r 2 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解 法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 1 例4 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 一元二次不等式的应用 自主解答 1 由题意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 解不等式应用题的步骤 4 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元 预测六月份销售额为500万元 七月份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元 则x的最小值是 解析 七月份的销售额为500 1 x 万元 八月份的销售额为500 1 x 2万元 则一月份到十月份的销售总额是3860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 万元 根据题意有3860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 7000 答案 20 不等关系强调的是关系 可用符号 b a b a b a b a b 等式子表示 就像相等关系可以用等式体现一样 不等关系可以用不等式体现 二次项系数中含有参数时 参数的符号影响不等式的解集 不要忘了二次项系数是否为零的情况 1 分类讨论的思想 含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论 在判断方程根的情况时 判别式是分类的标准 需要表示不等式的解集时 根的大小是分类的标准 2 转化思想 不等式在指定范围的恒成立问题 一般转化为求函数的最值或值域问题 创新交汇 一元二次不等式与函数交汇问题1 一元二次不等式的解法常与函数的零点 函数的值域 方程的根及指数函数 对数函数 抽象函数等交汇综合考查 2 解决此类问题可以根据一次 二次不等式 分式不等式 简单的指数 对数不等式的解法进行适当的变形求解 也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解 例 2012 浙江高考 设a r 若x 0时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 则a 解析 x 0 当a 1时 a 1 x 11 对于x2 ax 1 0 设其两根为x2 x3 且x20 又当x 0时 原不等式恒成立 通过y a 1 x 1与y x2 ax 1图象可知 1 本题具有以下创新点 1 本题是考查三次不等的恒成立问题 可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题 2 本题将分类讨论思想 整体思想有机结合在一起 考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平 2 解决本题的关键 1 将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题 1 偶函数f x x r 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 则不等式x3f x 0的解集为 解析 由图知 f x 0的解集为 4 1 1 4 不等式x3f x 0的解集为 4 1 0 1 4 答案 4 1 0 1 4 2 已知函数f x 的定义域为 f x 为f x 的导函数 函数y f x 的图象如图所示 且f 2 1 f 3 1 则不等式f x2 6 1的解集为 解析 由导函数图象知当x0 即f x 在 0 上为增函数 当x 0时 f x 1等价于f x2 6 f 2 或f x2 6 f 3 即 2 x2 6 0或0 x2 6 3 解得 2 3 3 2 答案 2 3 3 2 1 不等式2x2 x 1 0的解集是 答案 1 3 3 若关于x的不等式ax2 x 2a 0的解集为 则实数a的取值范围是 解析 依题意可知 问题等价于ax2 x 2a 0恒成立 当a 0时 x 0不恒成立 故a 0不合题意 当a 0时 要使ax2 x 2a 0恒成立 即f x ax2 x 2a的图象不在x轴的下方 4 汽车在行驶中 由于惯性作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素 在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但