河南省新乡市原阳一中高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 1 3 3函数的最大 小 值与导数 旧知回顾 一般地 函数的单调性与导数的关系 求解函数单调区间的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为减区间 新课导入 观察下图 点a与点b处的函数值 与他们附近点的函数值有什么关系 a b a点的函数值f a 比它临近点的函数值都大 b点的函数值f b 比它临近点的函数值都小 观察 h a o 一 观察高台跳水运动图象 t 单调递增 h t 0 单调递减 h t 0 新知探究 1 在点t a附近的图象有什么特点 2 函数在t a处的函数值和附近函数值之间的关系 3 点t a附近的导数符号有什么变化规律 4 函数在t a处的导数是多少呢 h t 0 a 二 观察下列函数的图象 h t 0 单调递增 单调递减 h t 0 h t 0 1 在点t a附近的图象有什么特点 2 函数在t a处的函数值和附近函数值之间的关系 3 点t a附近的导数符号有什么变化规律 4 函数在t a处的导数是多少呢 a 1 极大值 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都大 f a 0 y x f x 0 一 函数极值的概念 我们就说f a 是函数y f x 的一个极大值 点a叫做极大值点 a f a 0 且在 点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 f x 0 2 极小值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都小 一 函数极值的概念 我们就说f b 是函数的y f x 一个极小值 点b叫做极小值点 f b 0 且在点x b附近的左侧 右侧f x 0 f b 0 f x 0 x y b 极大值 极小值统称为极值 f x 0 f x 0 下图是函数的图象 指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 思考 函数的极值不是唯一的 极大值未必比极小值大 区间的端点不能成为极值点 你知道吗 思考 极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别 极值反映了函数在某一点附近的大小情况 刻画的是函数的局部性质 例1 求函数的极值 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 解方程f x0 0 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 总结 求函数极值的步骤 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 一般地 求函数y f x 的极值的方法是 解方程 当时 1 如果在附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么是极大值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 结论 导数值为0的点不一定是函数的极值点 例如 函数 虽然 但无论x 0 还是x 0 恒有 即函数是单调递增的 所以x 0不是函数极值点 结论 导数值为0的点是该点为极值点的条件 必要不充分 思考 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 函数在什么条件下一定有最大 最小值 他们与函数极值关系如何 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 二 函数的最值 y f x o y x y f x x1 x2 x4 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得 所有极值连同端点函数值进行比较 最大的为最大值 最小的为最小值 探究一 闭区间上的最值问题 x3 例2 求函数在 0 3 上的最大值与最小值 解 f x 的图象在 0 3 上是连续不断的 令 解得 因此函数在 0 3 上的最大值为4 最小值为 o x y a b o x y a b o x y a b o x y a b y f x y f x y f x y f x 结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 探究二 开区间上的最值问题 1 极大值极小值的概念 2 如何求函数的极值 3 可导函数f x 点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 极大值未必大于极小值 区间端点不能成为极值点 函数的极值不不是唯一的 课堂小结 4 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1