河北省中考数学复习二次函数第19讲二次函数的应用（2）试题（含解析）.docx

第19讲二次函数的应用(2)1. (2012，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在550之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长/cm2030出厂价/(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式；(2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元(利润出厂价成本价)求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？【思路分析】 (1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则ykxn.利用待定系数法求一次函数的解析式即可(2)设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元由题意，得pymx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可解：(1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则ykxn.由表格中的数据，得解得所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y2x10.(2)设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元由题意，得pymx22x10mx2.将x40，p26代入p2x10mx2，得2624010m402.解得m.所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为px22x10.因为a0，所以当x25(在550之间)时，p最大35.所以出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元利润问题例1 (2018，扬州节选，导学号5892921)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？例1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y与x之间的函数关系式(2)先由题意得出x的取值范围，再根据总利润销售量单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值解：(1)设y与x之间的函数关系式为ykxb.由题意，得解得故y与x之间的函数关系式为y10x700.(2)由题意，得10x700240.解得x46.设每天获取的利润为w元，则w(x30)y(x30)(10x700)10x21 000x21 00010(x50)24 000.100，当x50时，w随x的增大而增大当x46时，w最大，w最大10(4650)24 0003 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元针对训练1 (2018，深圳模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：销售单价/(元/件) 556070 销售量/件757060(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的函数关系式当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y与x之间的函数关系式(2)根据利润销售量(销售单价单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w与销售单价x之间的函数关系式，再根据x的取值范围和二次函数的性质求出最大值解：(1)设y与x之间的函数关系式为ykxb.由题意，得解得yx130.(2)w(x50)(130x)x2180x6 500(x90)21 600.由题意，得x50(150%)，即x75.50x75.当x90时，w随x的增大而增大，当x75时，w取得最大值，为1 375.所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1 375元二次函数与几何图形的综合例2 (2018，保定模拟)如图，已知矩形ABCD的边AB2，BC3，P是AD边上的一动点(点P异于点A，D)，Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过点P作PEDQ交AQ于点E，作PFAQ交DQ于点F.(1)求证：APEPDF；(2)设APx，求四边形EQDP的面积S(用含x的代数式表示出来)；当四边形EQDP的面积等于2时，说明PE与DQ的数量关系例2题图【思路分析】 (1)根据PEDQ，PFAQ得出同位角相等即可证得两三角形相似(2)由PEDQ，得到APEADQ.根据相似三角形的性质得到.求出SADQS矩形ABCD3，于是得到SSADQSAPEx23.根据四边形EQDP的面积等于2，列方程即可得到结论 (1)证明：PEDQ，APEPDF.PFAQ，DPFPAE.APEPDF.(2)解：PEDQ，APEADQ.，.SADQS矩形ABCD3，SAPEx2.SSADQSAPEx23.当四边形EQDP的面积等于2时，2x23.解得x.APAD.PEDQ.针对训练2(2018，揭阳一模)如图，在RtABC中，BAC90，ABAC2，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿AD方向运动设APx，ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，yS1S2，则y与x之间的关系式是 yx23x .训练2题图【解析】 在RtABC中，BAC90，ABAC2，AD为BC边上的高，APx，BADCAD45.BDAD2.PEAPx，PDADAP2x.yS1S2(2x)xx23x.一、 选择题1. (2018，马鞍山二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为(C)A. y(x40)(50010x)B. y(x40)(10x500)C. y(x40)50010(x50) D. y(x40)50010(50x)【解析】 因为销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，所以y与x之间的函数关系式为y(x40)50010(x50)2. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y4x440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C)A. 60元/件 B. 70元/件C. 80元/件 D. 90元/件【解析】 设销售该商品每月所获总利润为w元，则w(x50)(4x440)4x2640x22 0004(x80)23 600.当x80时，w取得最大值，最大值为3 600.所以当售价为80元/件时，销售该商品所获月利润最大3. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，作PEAP交外角DCF的平分线于点E.设BPx，PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(C)第3题图A. y2x1 B. yx2x2C. y2xx2 D. y2x【解析】 如答图，过点E作EHBC于点H.四边形ABCD是正方形，DCH90.CE平分DCH，ECHDCH45.CHE90，CEHECH45.EHCH.四边形ABCD是正方形，APEP，BCHEAPE90.BAPAPB90，APBEPH90.BAPEPH.BAPHPE.EHx.yCPEH(4x)x2xx2.第3题答图4. (2018，淄博模拟)如图，在ABC中，B90，AB12 mm，BC24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么四边形APQC的面积最小时，经过(C)第4题图A. 1 s B. 2 sC. 3 s D. 4 s【解析】 设点P，Q同时出发t s时，四边形APQC的面积为S mm2，则SSABCSPBQ12244t(122t)4t224t1444(t3)2108.40，当t3时，S取得最小值5. (2018，天津武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系yx270x800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B)A. 30元 B. 35元 C. 40元 D. 45元【解析】 yx270x800(x35)2425，当x35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大6. (2018，广州南沙区模拟)如图，ABC是直角三角形，A90，AB8 cm，AC6 cm.点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则APQ的面积最大是(C)第6题图A. 10 cm2 B. 8 cm2C. 16 cm2 D. 24 cm2【解析】 设运动时间为t s根据题意，得AP2t，AQt，SAPQt2.易知0t4，APQ的面积最大是16 cm2.7. 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E，F怎样运动，始终保持AEEF.设BEx，DFy，则y关于x的函数解析式是(C)第7题图A. yx1 B. yx1C. yx2x1 D. yx2x1【解析】 四边形ABCD为正方形，BC90.BAEAEB90.AEEF，AEBFEC90.BAEFEC.ABEECF.ABECBECF.ABCFECBE.AB1，BEx，EC1x，CF1y，1(1y)(1x)x.化简得yx2x1.二、 填空题8. (导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，AD16，AB12，E，F分别是边BC，DC上的点，且ECCF8.设BE的长为x，AEF的面积为y，则y关于x的函数解析式是( yx210x96 ).第8题图【解析】 BEx，CE16x.CECF8，CFx8.DF20x.yS矩形ABCDSABESCEFSADFx210x96.9. (2018，天津和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元当一个旅行团有 55 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额【解析】 设一个旅行团有x人，营业额为y元根据题意，得yx80010(x30)10x21 100x10(x55)230 250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额三、 解答题10. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件已知该款童装每件成本为30元设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润？【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题(3)根据题意列方程即可解决问题解：(1)y10010(60x)10x700.(2)设每星期的销售利润为W元根据题意，得W(x30)(10x700)10x21 000x21 00010(x50)24 000.当x50时，W最大，W最大4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元(3)由题意，得10(x50)24 0003 910.解得x53或x47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润11. (2018，承德一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：投资成本x/万元2种植树木的利润y1/万元4种植花卉的利润y2/万元2(1)分别求出利润y1与y2关于投资成本x的函数解析式；(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少【思路分析】 (1)根据题意设y1kx，y2px2，将表格中的数据分别代入求解可得(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8m)万元，根据“总利润花卉利润树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可解：(1)设y1kx.由表格数据可知，函数y1kx的图象过(2，4)，4k2.解得k2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y12x(x0)设y2px2.由表格数据可知，函数y2px2的图象过(2，2)2p22.解得p.故种植花卉的利润y2关于投资成本x的函数解析式是y2x2(x0)(2)因为投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8m)万元根据题意，得W2(8m)m2m22m16(m2)214.a0，0m8，当m2时，W取得最小值，为14.a0，当0m2时，W随m的增大而减小；当2m8时，W随m的增大而增大在对称轴左侧，当m0时，W取得最大值，为16.在对称轴右侧，当m8时，W取得最大值，为32.1632，当m8时，W取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元12. 如图，矩形ABCD的两边长AB18 cm，AD4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为x s，PBQ的面积为y cm2.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求PBQ的面积的最大值第12题图【思路分析】 (1)用x分别表示出PB，BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解(2)把函数解析式整理成顶点式，然后结合实际求二次函数的最值即可解：(1)SPBQPBBQ，BQx，PBABAP182x，y(182x)x，即yx29x(0x4)(2)由(1)知yx29x，y.当x时，y随x的增大而增大，而0x4，当x4时，y最大，y最大20.所以PBQ的面积的最大值是20 cm2.1. 某旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出若每张床位每天收费提高20元，则会相应地减少10张床位租出如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(C)A. 140元 B. 150元C. 160元 D. 180元【解析】 设每张床位收费提高x个20元，每天收入为y元根据题意，得y(10020x)(10010x)200x21 000x10 000.当x2.5时，可使y有最大值又x为整数，则x2时，y11 200；x3时，y11 200.所以为使租出的床位少且租金高，每张床位每天最合适的收费是100320160(元)2. (2017，湖州，导学号5892921)湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20 000 kg 淡水鱼，计划养殖