高考数学总复习 第七章 第1讲 正弦定理和余弦定理配套课件 文.ppt

第七章解三角形 第1讲 正弦定理和余弦定理 1 正弦定理 2r 其中r是三角形外接圆的半径 正弦定理可以变形为以下几种形式 以解决不同的三角形问题 1 a b c 2 a b c 3 sina sinb sinc sina sinb sinc a2r b2r c2r 2rsina 2rsinb 2rsinc 2 余弦定理 a2 b2 c2 a2 b2 2abcosc 2bc 2ac 余弦定理可以变形为 cosa cosb cosc 2ab b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 c2 b2 c2 a2 a2 c2 b2 3 三角形的面积 4 正弦定理和余弦定理的应用 1 在解三角形时 余弦定理可解决两类问题 已知两边及夹角或两边及一边对角 求其他边或角 已知三边 求其他边或角 2 正弦定理可解决两类问题 已知两角及任一边 求其他边或角 已知两边及一边对角 求其他边或角 其结果可能是一解 两解 无解 应注意区分 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下表 b 2 若 abc的内角a b c所对的边a b c满足 a2 b 2 c2 4 且c 60 则ab的值为 a a 43 b 8 c 1 d 23 3 在abc中 若sina sinb 则 abc一定是 a a 等腰三角形c 等腰直角三角形 b 直角三角形d 等腰或直角三角形 4 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanb ac 则角b d 5 在 abc中 若sin2a sin2b sin2c sinbsinc 则a 的大小是 考点1正弦定理 例1 2012年大纲 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知cos a c cosb 1 a 2c 求c的大小 解 由a b c b a c 由正弦定理及a 2c 得sina 2sinc 所以cos a c cosb cos a c cos a c cos a c cos a c cosacosc sinasinc cosacosc sinasinc 2sinasinc 由cos a c cosb 1与sina 2sinc 因为c为三角形的内角且a 2c c 故0 c 所以sinc 故c 可得2sinasinc 1 4sin2c 1 方法与技巧 该试题从整体来看保持了往年的解题风格 依然是通过边角的转换 结合了三角形内角和定理的知识 以及正弦定理和余弦定理 求三角形中的角的问题 试题整体上比较稳定 思路也比较容易得出 先将三角函数关系式化简后 得到角a c的关系 然后结合a 2c 得到两角的二元一次方程组 则容易得到角c的值 互动探究 b 2 2013年山东 abc的内角a b c的对边分别是a b c 若b 2a a 1 b 则c b a b 2 c d 1 考点2余弦定理例2 1 在 abc中 角a b c所对边的长分别为a b c 若a2 b2 2c2 则cosc的最小值为 答案 c 化简 得8c 7b 4 0 2 2012年北京 在 abc中 若a 2 b c 7 cosb 解析 在 abc中 利用余弦定理cosb a2 c2 b22ac 4 c b c b 4c 4 7 c b 4c 与b c 7联立 解得b 4 答案 4 则b 方法与技巧 1 本题考查余弦定理的应用 利用题目所给的条件列出方程组求解 2 熟练运用余弦定理及其推论 同时还要注意整体思想 方程思想在解题中的应用 互动探究 3 2013年上海 已知 abc的内角a b c所对的边分 别是a b c 若a2 ab b2 c2 0 则角c的大小是 考点3 正弦定理与余弦定理的综合应用 例3 2013年陕西 设 abc的内角a b c所对的边分 别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 a 直角三角形c 钝角三角形 b 锐角三角形d 不确定 sina 1 a abc为直角三角形 故选a 方法二 bcosc ccosb sinbcosc sinccosb sin b c sina sina sina 答案 a 方法与技巧 已知条件中既有边 又有角 解决问题的一般思路是两种 利用余弦定理将所有的角转换成边后求解 如方法一 利用正弦定理将所有的边转换成角后求解 如方法二 互动探究 a b c 且cosa cosb b 3 则c 5 2012年重庆 设 abc的内角a b c的对边分别为 易错 易混 易漏 对三角形中的角所受到哪些限制不清楚 例题 在 abc中 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断 abc的形状 解 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b b2 sin a b sin a b a2 sin a b sin a b 2sinacosb b2 2cosasinb a2 即a2cosasinb b2sinacosb 方法一 由正弦定理 知 a 2rsina b 2rsinb sin2acosasinb sin2bsinacosb 又sina sinb 0 sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 在 abc中 0 2a 2 0 2b 2 abc为等腰三角形或直角三角形 方法二 由正弦定理 余弦定理 得 a2b b2 c2 a22bc b2a a2 c2 b22ac 2a 2b或2a 2b a b或a b abc为等腰三角形或直角三角形 失误与防范 1 判断三角形的形状可以根据边的关系判断 也可以根据角的关系判断 所以可以从以下两种不同的方式切入 根据余弦定理 进行角化边 根据正弦定理 进行边化角 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 2 本题也可分析式子的结构特征 式子具有明显的对称 性 可判断图形为等腰或直角三角形 3 易错分析 方法一中 由sin2a sin2b直接得到a b 其实学生忽略了2a与2b互补的情况