高考数学一轮总复习 第1节 相似三角形的判定及有关性质课件（选修41）.ppt

选修4 1几何证明 选讲 第1节相似三角形的判定及有关性质 1 了解平行线截割定理 2 会证明并应用直角三角形射影定理 要点梳理 1 平行线截割定理及应用 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段 2 平行线等分线段定理的推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线必 相等 也相等 平分第三边 平分另一腰 考点自主回扣 3 平行线分线段成比例定理及其推论 三条平行线截两条直线 所得的对应线段 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 成比例 2 相似三角形的判定定理与性质定理 1 相似三角形的判定定理 两角 两边 夹角 三边 2 相似三角形的性质定理 相似比 相似比 平方 平方 3 直角三角形相似的判定定理与射影定理 1 直角三角形相似的判定定理 有一个锐角 两条直角边 斜边 斜边 成比例 2 直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 比例中项 基础自测 1 给出下列命题 三角形相似不具有传递性 两组对应边成比例 一组对应边所对的角相等的两三角形相似 两个三角形相似 则对应线段都成比例 相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比 其中正确的是 a b c d 正确 两个三角形相似时 对应边 对应中线 高线 角平分线都成比例 正确 由相似三角形的定义知 bac b a c 1 2 由直角三角形相似的判定方法知 rt adi rt a d i 可知结论正确 答案 c 2 如图所示 ab cd ef af be o 若ao od df be 14cm 则bo等于 答案 d 答案 b 4 在rt abc中 c 90 cd ab于d 若bd ad 1 3 则 bcd 5 如图 ab em dc ae ed ef bc ef 12cm 则bc的长为 cm 考向一平行线截割定理及应用 考向互动探究 拓展提高 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据 特别是在应用推论时 一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边 是否过一边的中点 考向二相似三角形的判定与性质例2 1 如图所示 d为 abc中bc边上一点 cad b 若ad 5 ab 9 bd 6 则dc的长为 拓展提高 1 求解线段长度问题要充分利用所求线段与已知线段长度之间的关系 化归到相应三角形中 通过构造相似三角形求解 2 由相似三角形构造成比例线段时 要注意边与边的对应 可以利用等角所对的边对应成比例构造等式 避免出错 活学活用2 1 2014 陕西高考 如图 abc中 bc 6 以bc为直径的半圆分别交ab ac于点e f 若ac 2ae 则ef 2 将三角形纸片abc按如图所示的方式折叠 使点b落在边ac上 记为点b 折痕为ef 已知ab ac 3 bc 4 若以点b f c为顶点的三角形与 abc相似 则bf 考向三直角三角形中的射影定理例3 2015 重庆模拟 如图 在 abc中 ad bc于d de ab于e df ac于f 求证 ae ab af ac 思路点拨分别在 adb和 adc中应用射影定理可证 证明 因为ad bc 所以 adb为直角三角形 又因为de ab 由射影定理知 ad2 ae ab 同理可得ad2 af ac 所以ae ab af ac 互动探究本题中 在 abc中 改为 在rt abc中 bac 90 证明bd dc ae ab 证明 在rt abc中 ad bc 所以ad2 bd dc 又由例题解析知ad2 ae ab 所以bd dc ae ab 拓展提高 1 运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中 要确定好直角边及其射影 2 在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化 同时注意射影定理的其他变式 思想方法23分类讨论思想在相似三角形中的应用典例已知ad是 abc中bc边上的高 若ad2 bd cd 则 abc的形状是 审题角度我们知道 在直角三角形中 斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项 反之 因为三角形一边上的高可能在三角形外 因此 原定理的逆命题是不成立的 即题中的 abc不一定是直角三角形 考能感悟提升 解析 若点d在线段bc上 如图1所示 由ad2 bd cd 可证 abd cad 从而可得 abc是直角三角形 若点d在线段bc的延长线上 如图2所示 则仍可证 abd cad 但 abc是钝角三角形 综上所述 abc是直角三角形或钝角三角形 答案 直角三角形或钝角三角形 方法点睛射影定理是直角三角形中的一个重要结论 其实质就是三角形的相似 要注意对于直角三角形射影定理一定成立 但满足该结论的三角形不一定是直角三角形 所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系 不能乱用 思维升华 方法与技巧 1 当证两个三角形相似 在已具备一角对应相等的条件时 往往先找是否有另一角对应相等 当此思路不通时 再找等角的两边对应成比例 2 从平行线等分线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导 注意定理推导过程从特殊到一般的思考方法 类似地 相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的 3 几何证明的难度应严格控制 在解决同一问题的过程中 相似三角形 或全等三角形 的使用不宜超过两次 添置的辅助线不超过三条 4 相似三角形性质的应用可用来考察与相似三角形相关的元素 如两个三角形的高 周长 角平分线 中线 面积 外接圆的直径 内切圆的面积等 失