第4讲全等三角形的性质及判定.doc

第4讲 全等三角形的性质及判定（12.1 、12.2）一、知识要点1、全等三角形的性质1 全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形2全等形的性质：（1）形状相同（2）大小相等3全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形4全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角（2）如图，和全等，记作通常对应顶点字母写在对应位置上5全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等（3）全等三角形的周长、面积相等6全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换7全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素2、 全等三角形的判定（1）全等三角形的判定1边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）（2）全等三角形的判定2边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”（3）全等三角形的判定3角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写为“角边角”或“ASA”（4）全等三角形的判定4角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等简称“角角边”“AAS”（5）直角三角形全等的判定斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写成“斜边直角边”或“HL”3、判定直角三角形全等的方法选择一般三角形全等的判定方法都适用；斜边-直角边公理一般三角形直角三角形条件边角边（SAS）,角边角（ASA）边边边（SSS）,角角边（AAS）斜边、直角边（HL）性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等备注判定三角形全等必须至少有一组对边相等注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。技巧平台：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或任一边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及邻边角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角SAS或ASA或AAS两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HL4、证明关于三角形全等的步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2） 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角（4） 先证明缺少的条件 （5） 再证明两个三角形全等（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）二、例题讲解例1.（SSS）如图，已知AB=AD，CB=CD,那么B=D吗？为什么？分析：要证明B=D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接AC边即可构造全等三角形。解：相等。理由：连接AC，在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），B=D（全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。A例2.（SSS）如图，ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：ADBC.分析：要证ADBC，根据垂直定义，需证ADB=ADC,而ADB=ADC可由ABDACD求得。证明：D是BC的中点，BD=CDB D C在ABD与ACD中，ABDACD(SSS)，ADB=ADC（全等三角形的对应角相等）AADB+ADC=（平角的定义）EDADB=ADC=，ADBC（垂直的定义）例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：B=C. CB分析：利用SAS证明两个三角形全等，A是公共角。证明：在ABE与ACD中,ABEACD(SAS),B=C（全等三角形的对应角相等）例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,A=B,求证：DF=CE.D C分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。A E F B证明：AE=BF(已知)AE+EF=BF+FE,即AF=BE在DAF与CBE中,DAFCBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。例5.（ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,ABDE,ACB=F,求证：AB=DE. A DB E C F分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，ACB=F逆推，即要找到证ABCDEF的条件。证明:ABDE,B=DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC与DEF中,ABCDEF(ASA),AB=DE.D例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，ACDE,AC=CE,ACD=B求证：ABCCDE.A分析：在ABC与CDE中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件，由ACDE，可知B=D,于是ABCCDE的条件就有了。 B C E证明：ACDE，ACB=E,且ACD=D.又ACD=B,B=D.在ABC与CDE中,ABCCDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。例7.（HL）如图，在RtABC中，A=,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED. A分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。EB D C证明：连接BE.EDBC于D,EDB=.在RtABE与RtDBE中，RtABERtDBE(HL),AE=ED.解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。三、综合练习一、选择题1如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组C3组D4组2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处若，则等于（ ）A B C DCADPB图（四）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）A BCD4.如图，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) A.B=E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.A=D，B=E D.A=D，BC=EF5如图，ABC中，C = 90，AC = BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC = 10cm，则BD+DE=A10cm B8cm C6cm D9cm6如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交ADCEB于点已知，则的度数为（ ）A BCDCAB7如图，=30，则的度数为（ ）A20 B30C35 D408如图，ACAD，BCBD，则有（ ）AAB垂直平分CD BCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACBODPCAB9尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）A SAS BASA CAASDSSS 10.如图, C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定OBAP11如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A B平分C D垂直平分ABCD12.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A BCD13.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个ABCD二、填空题1.如图，已知，要使 ，可补充的条件是（写出一个即可）2.如图,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,则DEB的周长为3.如图，请你添加一个条件：，使（只添一个即可）DOCBABACEBD4.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 OABCDE5. 已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.6.如图所示，AB=AD，1=2，添加一个适当的条件，使ABCADE，则需要添加的条件是_.AB D E C三、解答题1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使（1）求的度数；（2）求证：3.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .EDCBA4.如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由5.如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点MB CA DMN（1）求证：ABCDCB ；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论6.如图，四边形的对角线与相交于点，求证：（1）；DCBAO1234（2）7如图，在和中，现给出如下三个论断：；请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题21（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明：8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，