河北省地区中考数学总复习 第13讲 二次函数及其图象课件.ppt

二次函数及其图象 第十三讲 4 图象的平移 温馨提示二次函数的三种解析式 1 一般式y ax2 bx c a b c是常数 a 0 2 交点式y a x x1 x x2 a x1 x2是常数 a 0 3 顶点式y a x h 2 k a h k是常数 a 0 抛物线的顶点常见的三种变动方式 1 两抛物线关于x轴对称 此时顶点关于x轴对称 a的符号相反 2 两抛物线关于y轴对称 此时顶点关于y轴对称 a的符号不变 3 开口反向 或旋转180 此时顶点坐标不变 只是a的符号相反 1 2010 河北 如图 已知抛物线y x2 bx c的对称轴为x 2 点a b均在抛物线上 且ab与x轴平行 其中点a的坐标为 0 3 则点b的坐标为 d a 2 3 b 3 2 c 3 3 d 4 3 3 2008 河北 如图 正方形abcd的边长为10 四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形abcd的顶点上 且它们的各边与正方形abcd各边平行或垂直 若小正方形的边长为x 且0 x 10 阴影部分的面积为y 则能反映y与x之间函数关系的大致图象是 d 4 2009 河北 已知抛物线y ax2 bx经过点a 3 3 和点p t 0 且t 0 1 若该抛物线的对称轴经过点a 如图 请通过观察图象 指出此时y的最小值 并写出t的值 2 若t 4 求a b的值 并指出此时抛物线的开口方向 3 直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值 5 2014 河北 如图 2 2网格 每个小正方形的边长为1 中有a b c d e f g h o九个格点 抛物线l的解析式为y 1 nx2 bx c n为整数 1 n为奇数 且l经过点h 0 1 和c 2 1 求b c的值 并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点 2 n为偶数 且l经过点a 1 0 和b 2 0 通过计算说明点f 0 2 和h 0 1 是否在该抛物线上 3 若l经过这九个格点中的三个 直接写出所有满足这样条件的抛物线条数 待定系数法确定二次函数的解析式 例1 2013 安徽 已知二次函数图象的顶点坐标为 1 1 且经过原点 0 0 求该函数的解析式 解 设二次函数解析式为y a x 1 2 1 a 0 函数图象经过原点 0 0 a 0 1 2 1 0 a 1 该函数的解析式为y x 1 2 1或y x2 2x 点评 根据不同条件 选择不同设法 1 若已知图象上的三个点 则设所求的二次函数为一般式y ax2 bx c a 0 将已知条件代入 列方程组 求出a b c的值 2 若已知图象的顶点坐标或对称轴 函数最值 则设所求二次函数为顶点式y a x m 2 k a 0 将已知条件代入 求出待定系数 3 若已知抛物线与x轴的交点 则设抛物线的解析式为交点式y a x x1 x x2 a 0 再将另一条件代入 可求出a值 2 2013 宁波 已知抛物线y与x轴交于点a 1 0 b 3 0 且过点c 0 3 求抛物线的解析式和顶点坐标 请你写出一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落在直线y x上 并写出平移后抛物线的解析式 解 抛物线y与x轴交于点a 1 0 b 3 0 可设抛物线解析式为y a x 1 x 3 把c 0 3 代入得3a 3 解得a 1 故抛物线解析式为y x 1 x 3 即y x2 4x 3 y x2 4x 3 x 2 2 1 顶点坐标 2 1 先向左平移2个单位 再向下平移1个单位 得到的抛物线的解析式为y x2 平移后抛物线的顶点为 0 0 落在直线y x上 利用二次函数的图象 性质解答 点评 本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题 根据数形结合得出是解题的关键 利用二次函数解决实际应用题 例3 2013 哈尔滨 某水渠的横截面呈抛物线形 水面的宽为ab 单位 米 现以ab所在直线为x轴 以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 设坐标原点为o 已知ab 8米 设抛物线解析式为y ax2 4 1 求a的值 2 点c 1 m 是抛物线上一点 点c关于原点o的对称点为点d 连接cd bc bd 求 bcd的面积 点评 解二次函数的实际应用题关键是根据已知条件建立二次函数模型 3 2014 毕节 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次 第1档次 最低档次 的产品一天能生产95件 每件利润6元 每提高一个档次 每件利润增加2元 但一天产量减少5件 1 若生产第x档次的产品一天的总利润为y元 其中x为正整数 且1 x 10 求出y关于x的函数关系式 2 若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元 求该产品的质量档次 解 1 第一档次的产品一天能生产95件 每件利润6元 每提高一个档次 每件利润加2元 但一天生产量减少5件 第x档次 提高的档次是 x 1 档 y 6 2 x 1 95 5 x 1 即y 10 x2 180 x 400 其中x是正整数 且1 x 10 2 由题意可得 10 x2 180 x 400 1120 整理得x2 18x 72 0 解得x1 6 x2 12 舍去 答 该产品的质量档次为第6档 试题求证抛物线y 3 k x2 k 2 x 2k 1 k 3 过定点 并求出定点的坐标 审题视角有些函数的图象具有过定点的性质 这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的 例如 直线y kx b k 0 当b确定时 无论k取不等于0的任何值 它总过定点 0 b 抛物线y ax2 bx c a 0 当c确定时 无论a b取何值 它总过定点 0 c 本题中可以把函数解析式整理变形 使含字母k的项组合于一组 赋值为零 可以求出自变量的值 而后代入函数解析式 再求得相对应的函数值 即得定点的坐标 规范答题解 整理抛物线的解析式 得y 3 k x2 k 2 x 2k 1 3x2 2x 1 kx2 kx 2k 3x2 2x 1 k x2 x 2 k 3 上式中令x2 x 2 0 得x1 1 x2 2 将它们分别代入y 3x2 2x 1 k x2 x 2 解得y1 4 y2 7 把点 1 4 2 7 分别代入y 3x2 2x 1 k x2 x 2 无论k取何值 等式总成立 即点 1 4 2 7 总在抛物线y 3 k x2 k 2 x 2k 1 k 3 上 也就是说抛物线y 3 k x2 k 2 x 2k 1 k 3 过定点 1 4 2 7 答题思路第一步 对含有变系数的项集中 第二步 然后将这部分项分解因式 使其成为一个只含变系数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式 第三步