河南省长垣县第十中学高中数学 第2章 2.1.1曲线与方程课件 新人教A版选修31.ppt

2 1 1曲线与方程 解析几何在平面上建立直角坐标系 点p 曲线c f x y 0 曲线c划分的区域 f x y 0 对应 这些对应关系沟通了几何与代数 使我们可以借助代数方法研究几何问题 也可以借助图形研究代数问题 而联系两者的有力工具是坐标法 x y 曲线与方程对应包含两方面 曲线上点的坐标都是方程的解 以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点 试证以 a b 为圆心 r为半径的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 证明 如点 x0 y0 在圆上 则点 x0 y0 到 a b 的距离为r 则坐标满足方程 x a 2 y b 2 r2 如 x0 y0 满足方程 x a 2 y b 2 r2 则以 x0 y0 为坐标的点m到 a b 的距离为r 满足圆的定义 从而点m x0 y0 在圆上 从而得证 称这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 例 证明与两条坐标轴距离的积是常数k k 0 的点的轨迹是xy k 解析几何主要研究的问题 根据已知条件 求出表示曲线的方程 通过曲线的方程 研究曲线的性质 下面主要探讨求曲线的方程 一 直接法 求轨迹方程最基本的方法 直接通过建立x y之间的关系 构成 x y 即可 例 设 两点坐标为 求线段 垂直平分线方程 1 由求方程的过程可知 曲线上的点的坐标都是方程 的解 由 1 2 可知 方程 是所求轨迹的方程 2 设点m1的坐标 x1 y1 是方程 的解 那么x1y1 k 即 x1 y1 k 而 x1 y1 正是点m1到纵轴 横轴的距离 因此点m1到这两条直线的距离的积是常数k 点m1是曲线上的点 证明结论 归纳求曲线方程一般步骤 建系取点 由已知几何问题 建立适当的平面直角坐标系 用 x y 表示曲线上任意一点 的坐标 条件列式 据几何条件写出满足题设的点 集合 代换 将点 的坐标带入几何条件 列出方程f x y 化简方程 尽可能通过同解变形化简上述方程 查漏补缺 验证方程所表示的曲线是否所求动点 的轨迹 一般地 由于化简方程是同解变形 上述步骤 可省略不写 下面继续探讨求曲线的方程 二 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可用曲线定义写出方程 例 若动点 到定点 的距离与到定直线y 距离的比为定值 求动点 的轨迹方程 下面继续探讨求曲线的方程 三 代入法 又称相关点法 其特点是 动点m x y 的坐标取决于已知曲线c上的点 x0 y0 的坐标 可先用x y表示x0 y0 再带入曲线c的方程 即得点m的轨迹方程 例3 若abc的两个顶点b c的坐标分别是 1 0 和 2 0 顶点a在直线y x上移动 求abc重心g的轨迹方程 下面继续探讨求曲线的方程 四 参数法 选取适当的参数 分别用参数表示动点坐标x y 得出轨迹的参数方程 消去参数 即得其普通方程 例4 已知点c的坐标是 2 2 过点c的直线ca与x轴交于点a 过点c且与直线ca垂直的直线与y轴交于点b 设点m是线段ab的中点 求点m的轨迹方程 y 归纳 选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素 然后再选取合适的参数 常见的参数有角度 直线的斜率 点的坐标 线段长度等 小结 1 理解曲线的方程与方程的曲线的对应关系包含的