高中数学 1.3.5 二次函数性质的再研究配套课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 5 二次函数性质的再研究 学习目标 1 理解二次函数的图象特征及其解析式 2 探讨二次函数的性质 二次函数的系数已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图1 3 5所示 图1 3 5确定符号 a b c b2 4ac 0 0 0 0 练习1 若y x2 ax b在 0 1 上的最大值为1 最小值为 0 且a 2 则a b 2 1 最小值为 8 x 2 练习3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图1 3 6 那么 oa ob 图1 3 6 b 练习4 二次函数y k 1 x2 2 k 1 x 3 k 1 的图象的 顶点在x轴上 则k a 1c 1或 1 b 2d 1或 2 d 问题探究 1 二次函数f x ax2 bx c在什么情况下是偶函数 可 以是奇函数吗 答案 当b 0时为偶函数 不可能是奇函数 2 二次函数f x ax2 bx c的单调性是由哪些要素来确定的 试写出其单调区间 答案 二次函数f x ax2 bx c的单调性由开口方向和对称轴确定的 题型1 求二次函数的值域 例1 根据函数单调性求出下列函数的值域 1 f x x2 4x 1 x 4 3 2 f x 2x2 x 4 x 3 1 3 f x 2x2 4x 1 x 1 3 解 1 f x x2 4x 1 x 2 2 5 在 4 3 上单调递减 y 4 1 在x 3 1 上单调递增 y 11 3 3 f x 2x2 4x 1 2 x 1 2 3 x 1 3 当x 1时 取得最小值为 3 又 f 1 5 f 3 5 y 3 5 求二次函数在某个区间的最值 最容易出现的错误是直接代两头 将两端点代入 当然这样做 有时答案也对 那是因为在该区间函数刚好单调 这纯属巧合 求二次函数在某个区间的最值时 应先配方 找到对称轴和顶点 再结合图形进行求解 变式与拓展 解 二次函数y 3 2x x2的对称轴为画出函数的图象 由图d21 可知 当x 1时 ymax 4 图d21 题型2 轴定区间动问题的分类讨论 例2 设函数f x x2 2x 2 其中x t t 1 t r 的最小值为g t 求g t 的表达式 解 f x x2 2x 2 x 1 2 3 当t 1 1 即t 0时 由图d14可知 截取减区间上的一段 g t f t 1 t2 3 图d14 当12 即t 1时 截取增区间上的一段 如图d16 g t f t t2 2t 2 图d15 图d16 这是一道与二次函数有关的含参数的问题 本例的二次函数的对称轴固定 而区间不固定 因此需要讨论该区间相对于对称轴的位置关系 变式与拓展 2 二次函数y 2x2 x 1 定义域为 t t 1 t为可变 常数 下列命题中错误的是 a 题型3区间定轴动问题的分类讨论 例3 求函数f x x2 2ax 1在区间 0 2 上的最大值 和最小值 解 f x x2 2ax 1 x a 2 a2 1 f x 的图象是开口向上 对称轴为x a的抛物线 当a 0时 如图d17 f x 的最大值为f 2 3 4a f x 的 最小值为f 0 1 图d17 当0 a 1时 如图d18 f x 的最大值为f 2 3 4a f x 的最小值为f a a2 1 图d18 图d19 当1 a 2时 如图d19 f x 的最大值为f 0 1 f x 的最小值为f a a2 1 当a 2时 如图d20 f x 的最大值为f 0 1 f x 的最 小值为f 2 3 4a 图d20 本例是与二次函数有关的含参数的问题 本例的二次函数是区间固定 对称轴变化 因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系 例2和例3是二次函数中分类讨论中的最基本的两种题型 应引起足够的重视 变式与拓展 3 已知函数f x x2 kx在 1 3 上是单调函数 则实数 k的取值范围为 k 2或k 6 例4 已知函数f x x2 ax 3 a 若当x 2 2 时 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 易错分析 对二次函数f x ax2 bx c a 0 当x r f x 0恒成立时 有 0 片面理解为当ax2 bx c 0 a 0 x 2 2 恒成立时 这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误 在二次函数最值问题中 轴变区间定问题 要对对称轴进行分类讨论 轴定区间变问题 要对区间进行分类讨论 解 设f x 的最小值为g a 又a 4 故 7 a 4 综上所述 实数a的取值范围为 7 a 2 方法 规律 小结 1 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x m 2 n a 0 其中 顶点为 m n 3 两根式f x a x x1 x x2 a 0