福建省霞浦第一中学高考数学复习 专题一 第四讲 转化与化归思想课件.ppt

专题一 第四讲 思想方法概述 应用角度例析 通法归纳领悟 专题专项训练 角度一 角度二 角度三 角度四 1 转化与化归思想的含义转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段将问题通过变换使之转化 进而使问题得到解决的一种数学方法 一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 2 转化与化归的常见方法 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把式子转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相变换获得转化途径 4 等价转化法 把原问题转化为一个易于解决的等价问题 以达到化归的目的 5 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的问题的结论适合原问题 6 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 7 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 8 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于探求 9 参数法 引进参数 使原问题转化为熟悉的问题进行解决 10 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题的结果看作集合a 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集u 通过解决全集u及补集 ua使原问题获得解决 体现了正难则反的原则 一般与特殊的转化 1 有些数学题具有一般性 有的具有特殊性 解题时 有时需要把一般问题化为特殊问题 有时需要把特殊问题化为一般问题 其模式是 首先假设使问题特殊 或一般 化 降低难度 然后再解这个特殊 或一般 性的问题 从而使原问题获解 2 本例是用特殊法求解 简单 迅速 当选择题或填空题的结论唯一或其值为定值时 我们只要把题中的参变量用特殊值代替 即一般化为特殊 即可得到结论 1 2012 江西高考 等比数列 an 的前n项和为sn 公比不为1 若a1 1 则对任意的n n 都有an 2 an 1 2an 0 则s5 答案 11 答案 1 例2 1 2012 青岛模拟 设x y为实数 若4x2 y2 xy 1 则2x y的最大值是 2 若关于x的方程9x 4 a 3x 4 0有解 则实数a的取值范围是 思路点拨 1 可利用不等式将方程转化为只含2x y的不等式求解 但要注意取等号的充要条件 2 可采用换元法 令t 3x 将问题转化为关于t的方程有正解进行解决 等与不等的转化 等与不等是数学解题中矛盾的两个方面 但是它们在一定的条件下可以相互转化 例如本例 表面看来似乎只具有相等的数量关系 且根据这些相等关系很难解决 但是通过挖掘其中的不等量关系 转化为不等式 组 来求解 则显得非常简捷有效 例3 2012 北京高考 已知f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 x r f x 0或g x 0 则m的取值范围是 思路点拨 根据题意 可将问题转化为g x 0的解集的补集是f x 0的解集的子集求解 解析 由题易知当x 1时 g x 0 故要使对 x r f x 0或g x 0 只需在x 1时 f x 0恒成立即可 正向与逆向的转化 当m 0时 f x 0时 f x 0 因为x 1 2m 0 所以x 2m 0 于是不等式转化为m x 3 又x 1时 x 3 4 所以要使m x 3在x 1时恒成立 只需m 4 故 4 m 0 综上 4 m 0 答案 4 0 正难则反 利用补集求得其解 这就是补集思想 一种充分体现对立统一 相互转化的思想方法 一般地 题目若出现多种成立的情形 则不成立的情形相对很少 从反面考虑较简单 因此 间接法多用于含有 至多 至少 情形的问题中 4 由命题 存在x r 使e x 1 m 0 是假命题 得m的取值范围是 a 则实数a的取值是 a 1 b 2 c 1d 2解析 选命题 存在x r 使e x 1 m 0 是假命题 可知它的否定形式 任意x r 使e x 1 m 0 是真命题 可得m的取值范围是 1 而 a 与 1 为同一区间 故a 1 c 5 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一个值c 使得f c 0 则实数p的取值范围是 例4 对于满足0 p 4的所有实数p 使不等式x2 px 4x p 3成立的x的取值范围是 思路点拨 本题若按常规法视x为主元来解 需要分类讨论 这样会很繁琐 若以p为主元 即可将原问题化归为在区间 0 4 上 一次函数f p x 1 p x2 4x 3 0成立的x的取值范围 这样 借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决 常量与变量的转化 答案 1 3 在处理多变元的数学问题时 我们可以选取其中的常数 或参数 将其看做是 主元 而把其它变元看做是常量 从而达到减少变元简化运算的目的 6 设f x 是定义在r上的单调增函数 若f 1 ax x2 f 2 a 对任意a 1 1 恒成立 求x的取值范围 化归与转化 还有 数与形的转化 数学各分支之间的转化 等 应用时还应遵循以下五条原则 1 熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于运用熟知的知识和经验来解答问题 2 简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则转化问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式 或者转化命题 使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 4 直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正