北京市中学生数学竞赛复赛高一李延林.pdf

年第 期 年北京市中学生数学竞赛复赛 高 一 中 图分类号 文献标识码 文章编号 填空题 每小题 分 共 分 实数 使得 和吁 已知函数 一 定义如下 则 的最大值为 为偶数 二 分 由 上的点 引三条弦 为奇数 明 醜合 丨中 二 分 满 足系数 为整数 且根 元素的个数为 为 无理数 叫 的二次三项式 称 在锐角 内取点 使得 为 无理二次三项式 求所有无理二次三项式 中 根的绝对值之和的最小值 分别 为边 的中点 则 的 四 分 设 为定义在 上的函 度数为 数 且满足 已知仍 内 为从小到 大排列 的前 个素数 记 则关 对任意的 均有 于 尤 的不定方程 肌 证明 为周期函数 并确定 的正整数解集为 已知 狀 从也均为等腰三角 形 如图 将厶仙瓦 的值 绕点 逆时针方向旋转 一个角 度 份 的延 五 分 集合 为 丨 长线与 直线 交于点如图 丨的 一个 等浓二分划 即 且 记集合 中所有数的积为 集合 中所有数的积 为 称 为 的等浓二分划的特征 数 证明 齡 畴 浓 仙撕寺 一 为合数 若等浓二分划的特征数不为 的倍 数 则该特征数为 的倍数 则绕点 逆时针方向从 旋转 注 有限集合 的元素个数简记为 到 的过程中 点 运动的路线长为 六 分 如 图 为 的内角平分线 且 歷 证明 中 等数学 差为 的倍数 知 由 已知得 为 的倍数 再根 据式 若题中不定方程成立 则 均为 的倍数 即原方程左边有因子 但 不被 整除 矛盾 参考答案 从而 原方程的正整数解集为 一方面 当 丨 丨时 计算得 丨 丨 且可验证 丨 另 一方面 当 时 因此 点 在以 为 直 径 的圆弧上运 动 即 在 的外接圆弧上运动 如图 则 幻 不成立 因此 丨 共 个元素 二 由条件易知 鮮 如图 延长 到点 使得 联结風 丨 一 图 当 时 点 与 重合 由 于点 在以 为圆心 为半径的圆 上 运动 最远的位置是 的切线 图 由 于仙 仙 易知 记此时点 则 仙 此 的 位置为 则 似 取边 的中点 联结 于是 四点共圆 故 口 因此 之 似 幺 又 分别为边 的中点 户 为 由 叱 在 仙 绕 的中点 故歷 点 逆时针方向由 旋转到 的过程中 因此 一 点 在 的 弧上往返 一次 即其运动的 由 两两之 路线是以 为圆心 似长为半径的狀 年第 期 从而 点 运动的路线长 为 特别 地 又 三尸 则 厂 于是 及 仏 由式 得 叫 多各 事实 上 最小值 是可以达到的 注意到 如 时 尤 尤 一 为无理二 斥 次三项式 其根七 此时 尺 又 丨 四 令 由式 得 于是 在闭区间 上 函数 为增加的 故其最 大值 在 时得到 即 的 故 即 是以 为周 最大值为 期 的周期函数 如图 延长 由周性得 到 点 使得 因为 所以 为 等 边 为 型的数 二任形 瓜 图 故 左 因 此 所求为 在 与 中 由 五 集合 中的 个数恰有 个偶数 个奇数 知 若全部偶数不全在 的同 一 个集合 中 则每个集合中均含偶数 三 设 为无理二次三项式 于是 与 均被 整除 为其判别式 因此 被 整除 注意到 若全部偶数均 在 的 一个集合中 不妨设 集合 的 个元素全为偶数 则 集 合 的 个元素全为奇数 显然 集合 中包含偶数 集 合 中包 由无理二次三项式的定义 知 为非负 含奇数 整数 但不为完全平方数 于是 与 均为 的倍数 中 等 数学 因此 被 整除 因为 所以 为合数 已知 不为 的倍数 则 为奇 数当且仅当 个为奇数一个 为偶数 不妨设 为奇数 则 集 合 的元素只能 是 这 个奇数 注意到 在集合 中含有因数 的数记为 图 因为 中含两个因数 所 乂 以 集合 中含因数 的共有 个 腿 从而 在集合 中 型的数中除去 含有因数 丨 的数超过 个 但 于是 类似地 在集合 中 分 型的数中 除去 和 含有因数 的数远远超 过 个 于是 集合 的元素只能是 这 个偶数 注意到 一乙 在集合 中含有因数 的数记为 四点共圆 僉 因为 中含两个隱 由 知 所以 集合 中含因数 的共有 个 故歷 層 獅 即 为正三角形 从而 在集合 中 型或 型的数含的因数 和 各 自均多 于 个 此 于是 延长 至任 一 点 延长 至任 因此 丨 即 一点 六 设 由 知 为 的平分线 则 又 从 为 的平分线 于是