2017年福建省福州一中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（含解析）

2017年福建省福州一中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，若，则的取值范围是A，B，C，D，2（5分）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为A1B0CD3（5分）若实数，满足条件，则的最大值为A7B8C9D144（5分）我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列”则下列说法错误的是A该金锤中间一尺重3斤B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C该金锤的重量为15斤D该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤5（5分）执行如图所示的算法，则输出的结果是A1BCD26（5分）设，为自然对数的底数，则，的大小关系为ABCD7（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图完全相同，则该几何体的体积为ABCD8（5分）规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0，1表示该次投掷未在 8 环以上，用2，3，4，5，6，7，8，9表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为ABCD9（5分）点在抛物线上，为抛物线焦点，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则A9B12C18D3210（5分）函数的，图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，若，则ABCD11（5分）在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，则的轨迹长为ABCD12（5分）已知数列满足，则的整数部分是A0B1C2D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分） 14（5分）的展开式的常数项是 15（5分）在中，则 16（5分）点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知函数的最大值为2（1）求函数，在，上的单调递减区间；（2）中，分别是角，所对的边，且，求的面积18（12分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，（）求证：平面平面；（）若是中点，是二面角的平面角，求直线与平面所成角的余弦值19（12分）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金保险公司把企业的所有岗位共分为、三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）工种类别赔付频率对于、三类工种职工每人每年保费分别为元，元，元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（）若保险公司要求利润的期望不低于保费的，试确定保费、所要满足的条件；（）现有如下两个方案供企业选择；方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付若企业选择方案2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费、所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作20（12分）已知圆，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点（）求点的轨迹方程；（）记点的轨迹为，、是直线上的两点，满足，曲线与过，的两条切线（异于交于点，求四边形面积的取值范围21（12分）函数（）讨论的单调性；（）若且满足：对，都有，试比较与的大小，并证明选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，曲线以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：，曲线为参数）（）求的直角坐标方程；（）与相交于，与相切于点，求的值选修4-5：不等式选讲23（）求函数的最大值（）若实数，满足，证明：，并说明取等条件2017年福建省福州一中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，若，则的取值范围是A，B，C，D，【考点】：并集及其运算【专题】11：计算题【分析】首先解对数不等式化简集合，再由得到集合与集合之间的关系，然后通过比较端点值的大小求得实数的取值范围【解答】解：，因为，所以所以，所以，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了对数不等式的解法，考查了并集及其运算，考查了运用集合之间的关系求参数范围问题，解答此题的关键是对区间端点值大小的确定，此题是基础题2（5分）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为A1B0CD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；：数系的扩充和复数【分析】利用复数是纯虚数求出，然后利用复数的幂运算以及复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：复数为纯虚数，可得，故选：【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3（5分）若实数，满足条件，则的最大值为A7B8C9D14【考点】：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由，解得，即，代入目标函数得即目标函数的最大值为9故选：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4（5分）我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列”则下列说法错误的是A该金锤中间一尺重3斤B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C该金锤的重量为15斤D该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤【考点】84：等差数列的通项公式【专题】11：计算题；33：函数思想；：数学模型法；54：等差数列与等比数列【分析】由题意可知等差数列的首项与第5项，再由通项公式求得公差，求得第三项，再求出中间三项的和，逐一核对四个选项得答案【解答】解：由题意可知等差数列中，则，正确，错误，正确，正确故选：【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题5（5分）执行如图所示的算法，则输出的结果是A1BCD2【考点】：程序框图【专题】27：图表型；：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，满足条件，退出循环，输出的值为1【解答】解：模拟执行程序框图，可得，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出的值为1故选：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题6（5分）设，为自然对数的底数，则，的大小关系为ABCD【考点】：对数值大小的比较【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得与的大小关系，再利用指数函数的单调性可得与的大小关系【解答】解：，令，函数在单调递增，故选：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图完全相同，则该几何体的体积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，挖去一个圆锥所得的组合体，分别计算四棱锥和圆锥的体积，相减可得答案【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正四棱锥，挖去一个圆锥所得的组合体，四棱锥的体积为，圆锥的体积为：，故组合体的体积故选：【点评】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8（5分）规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0，1表示该次投掷未在 8 环以上，用2，3，4，5，6，7，8，9表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为ABCD【考点】：简单随机抽样【专题】38：对应思想；：定义法；：概率与统计【分析】根据概率的公式进行计算即可【解答】解：根据随机试验数得为优秀的数据有17个，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为，故选：【点评】本题主要考查概率的计算，比较基础9（5分）点在抛物线上，为抛物线焦点，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则A9B12C18D32【考点】：抛物线的性质【专题】35：转化思想；41：向量法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的焦半径公式，求得点坐标，即可求得圆，当，即可求得和坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得答案【解答】解：抛物线的焦点，设，由抛物线的焦半径公式，即，则，假设，则圆的方程为，令，解得：或，则，则，故选：【点评】本题考查抛物线的焦半径公式，考查圆的方程，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题10（5分）函数的，图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，若，则ABCD【考点】：正弦函数的图象【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质求得的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：函数的，图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，若，则，故选：【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，诱导公式的应用，属于基础题11（5分）在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，则的轨迹长为ABCD【考点】：轨迹方程；：直线与平面垂直【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】画出图形，经过作出与直线垂直的平面，判断的位置，然后求解即可【解答】解：在棱长为1的正方体中，是的中点，取的中点，连接，因为平面，可知，则就是轨迹上的一个点，作，于，可得平面，所以在上，的长就是的轨迹长因为正方体的棱长为1，所以，则故选：【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力12（5分）已知数列满足，则的整数部分是A0B1C2D3【考点】：数列的求和【专题】16：压轴题；34：方程思想；：转化法；55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知数列递推式可得，再利用裂项相消法求和得答案【解答】解：，即，又，且，则，的整数部分是1故选：【点评】本题考查了数列递推关系，训练了裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，是难题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】35：转化思想；：转化法；52：导数的概念及应用【分析】利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案，【解答】解：，由定积分的几何意义可知：表示单位圆面积的，即，故答案为：【点评】本题考查定分的运算性质及定积分的几何意义，考查计算能力，属于基础题14（5分）的展开式的常数项是3【考点】：二项式定理【专题】11：计算题【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值【解答】解：而项式，故它的展开式的常数项为，故答案为 3【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题15（5分）在中，则【考点】：向量数乘和线性运算【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；58：解三角形【分析】根据余弦定理即可求出【解答】解：由，得是的三等分点，设，则，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，解得，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题16（5分）点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是【考点】：双曲线的性质【专题】35：转化思想；44：数形结合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设设，则，求出到圆心的最小距离，即可得出的最小距离，从而得出的最小值【解答】解：设，则，设，则在双曲线上，设曲线的圆心为，则，当时，故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，距离公式的应用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知函数的最大值为2（1）求函数，在，上的单调递减区间；（2）中，分别是角，所对的边，且，求的面积【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题【分析】（1）将解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出的最大值，由已知最大值为2列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出的解析式，由正弦函数的递减区间为，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到在，上的单调递减区间；（2）由（1）确定的解析式化简，再利用正弦定理化简，得出，利用余弦定理得到，将代入求出的值，再由的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积【解答】解：（1）（其中，的最大值为，又，令，解得：，则在，上的单调递减区间为，；（2）设的外接圆半径为，由题意，得，化简，得，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，即，将式代入，得，解得：或（舍去），则【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，（）求证：平面平面；（）若是中点，是二面角的平面角，求直线与平面所成角的余弦值【考点】：平面与平面垂直；：直线与平面所成的角【专题】35：转化思想；：转化法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）连接，可得面由，得面可得平面平面；（）由是二面角的平面角，得为等边三角形 分别以，为，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，0，利用向量法求解【解答】解：（）证明：连接，因为为菱形，所以，又，所以面故因为，且，所以面而平面，所以平面平面；（）因为是二面角的平面角，所以，又是中点，所以，所以为等边三角形如图所示，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，0，设是平面的一个法向量，则，即，取得所以，所以直线与平面所成的余弦值为【点评】本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求线面角、面面角，属于中档题19（12分）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金保险公司把企业的所有岗位共分为、三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）工种类别赔付频率对于、三类工种职工每人每年保费分别为元，元，元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（）若保险公司要求利润的期望不低于保费的，试确定保费、所要满足的条件；（）现有如下两个方案供企业选择；方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付若企业选择方案2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费、所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】12：应用题；38：对应思想；：数学模型法；：概率与统计【分析】（）设工种，职工的每份保单保险公司的效益为随机变量，写出随机变量、的分布列，计算保险公司期望收益、；根据要求列出不等式，求出、满足的条件；（）计算企业不与保险公司合作时安全支出（即赔偿金的期望值），以及企业与保险公司合作的安全支出（即保费），比较大小【解答】解：（）设工种，职工的每份保单保险公司的效益为随机变量，则随机变量的分布列为：随机变量的分布列为：随机变量的分布列为：保险公司期望收益为，；根据要求，解得，所以每张保单的保费需要满足元；（）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为；若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为；解得，结果与（）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了不等式的应用问题，是综合题20（12分）已知圆，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点（）求点的轨迹方程；（）记点的轨迹为，、是直线上的两点，满足，曲线与过，的两条切线（异于交于点，求四边形面积的取值范围【考点】：轨迹方程【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】利用中垂线的性质得出，于是点轨迹为椭圆，根据椭圆定义得出椭圆方程；设的斜率为，用表示出，的坐标，设过点的切线斜率为，联立方程组得出和的关系，同理得出过点的切线方程，再联立方程组得出点坐标，得出四边形面积关于的解析式，利用不等式得出面积的范围【解答】解：（）依题意得圆心，半径，线段的垂直平分线与线段相交于点，点的轨迹方程是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，则，的轨迹方程是（）依题意，直线斜率存在且不为零，设为，令得，同理设过点的切线为，代入得由，解得，同理联立方程组：，解得，当且仅当时等号成立，四边形面积的取值范围是，【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题21（12分）函数（）讨论的单调性；（）若且满足：对，都有，试比较与的大小，并证明【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于，解得的范围，令，根