2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分1（5分）已知集合，2，3，4，5，集合，集合，则等于AB，3，C，4，D2（5分），则（2）A3B1C2D3（5分）函数的定义域为A，BC，D4（5分）已知，则下列不等式成立的是ABCD5（5分）已知过，则以下函数图象正确的是ABCD6（5分）已知实数，满足，则的最大值是AB4CD7（5分）已知命题：“已知为定义在上的偶函数，则的图象关于直线对称”，命题：“若，则方程有实数解”，则A“且”为真B“或”为假C假真D真假8（5分）若，满足且的最大值为4，则的值为ABCD9（5分）若函数在，的最大值为，最小值为，且，则的值是A1BCD10（5分）已知函数，若（a）（1），则的取值范围是A，B，C，D，11（5分）已知函数，若方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是AB，CD12（5分）已知集合，函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是A，B，C，D，二、填空题：本题4小题，每小题5分13（5分）14（5分）函数的递增区间是 15（5分）已知是定义在实数集上的函数，当，时，且对任意都有，则 16（5分）已知是定义在上的偶函数，且当时，若满足：，时，是定义在上的周期函数，存在使得则的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）函数关于对称（1）求得值；（2）解不等式18（12分）二次函数开口向上，且满足恒成立已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形（1）求的解析式；（2）讨论在，的最小值19（12分）四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值20（12分）已知抛物线焦点为，准线为，为上任意点过作的两条切线，切点分别为，（1）若在轴上，求；（2）求证：以为直径的圆恒过定点21（12分）已知函数恰有两个零点，（1）求的范围；（2）求证：选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，是圆的直径，点在弧上，点为弧的中点，做于点，与交于点，与交于点（）证明：（）若，求圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线将于点、，若点的坐标为，求的值选修4-5：不等式选讲24已知函数（1）解不等；（2）若且，证明：2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分1（5分）已知集合，2，3，4，5，集合，集合，则等于AB，3，C，4，D【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题【分析】集合，2，3，4，5，集合，集合，故，2，4，由此能求出【解答】解：集合，2，3，4，5，集合，集合，2，4，故选：【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分），则（2）A3B1C2D【考点】：函数的值【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由（2），能求出结果【解答】解：，（2）故选：【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用3（5分）函数的定义域为A，BC，D【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：，故选：【点评】本题考查了导数的性质，二次根式的性质，求函数的定义域，是一道基础题4（5分）已知，则下列不等式成立的是ABCD【考点】：对数函数的单调性与特殊点；71：不等关系与不等式【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】直接利用对数函数的单调性判断即可【解答】解：，可得所以，故选：【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用，考查计算能力5（5分）已知过，则以下函数图象正确的是ABCD【考点】：指数函数的单调性与特殊点【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】根据幂函数的性质即可求出【解答】解：过，该函数为增函数，且过点，故选：【点评】本题考查了幂函数的性质，属于基础题6（5分）已知实数，满足，则的最大值是AB4CD【考点】：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；49：综合法；：不等式【分析】根据基本不等式的应用条件直接应用即可【解答】解：，则，故选：【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中等题7（5分）已知命题：“已知为定义在上的偶函数，则的图象关于直线对称”，命题：“若，则方程有实数解”，则A“且”为真B“或”为假C假真D真假【考点】：命题的真假判断与应用【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；：简易逻辑【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断【解答】解：为定义在上的偶函数，对称轴为：，则的图象看作的图象向左平移1个单位得到的，函数的图象关于直线对称，命题为真命题，则方程，可得，方程有实数解，所以命题是真命题，所以且为真故选：【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力8（5分）若，满足且的最大值为4，则的值为ABCD【考点】：简单线性规划【专题】31：数形结合；：转化法；：不等式【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线与相交于，即可求解值【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线过定点，的最大值为4，作出直线，由图象知直线与相交于，同时也在直线上，代入直线得，即，故选：【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值9（5分）若函数在，的最大值为，最小值为，且，则的值是A1BCD【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】11：计算题；34：方程思想；：参数法；52：导数的概念及应用【分析】由求出，且时，是减函数，从而，由此能求出的值【解答】解：函数，当时，时，是减函数，在，的最大值为，最小值为，解得的值是故选：【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用10（5分）已知函数，若（a）（1），则的取值范围是A，B，C，D，【考点】：分段函数的应用【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】先判断函数为偶函数，再判断在上为增函数，即可求出的范围【解答】解：，为偶函数，（a）（1），（a）（1），（a）（1），当时，函数为增函数，故选：【点评】本题考查了分段函数的问题以及函数的奇偶性和单调性，属于中档题11（5分）已知函数，若方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是AB，CD【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】函数的图象与函数共有两个交点，可能为：两个交点均为与二次函数的交点，也可能为：两个交点为与的交点，另一个是与二次函数的交点，进而得到答案【解答】解：与共有两个交点，与有一个交点，若方程恰有两个不同实根，则函数的图象与函数共有两个交点，若两个交点均为与二次函数的交点，则，若两个交点为与的交点，另一个是与二次函数的交点，则，综相所述，故选：【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，分段函数的应用，难度中档12（5分）已知集合，函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】：分段函数的应用【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】求得函数，的导数和单调性，可得最大值及值域，再由二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，求得有的值域，再由集合的包含关系，解不等式可得的范围【解答】解：当，即，由函数，导数，即有，由，可得，即函数在递减，且时，；时，由零点存在定理可得，只有一个零点，设为则函数在，递增，在递减又取得最大值，又时，；时，则函数的值域为，当时，由的值域为，可得的值域为，再由，可得，解得故选：【点评】本题考查函数的值域的求法，注意运用导数判断单调性，求最值，同时考查转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本题4小题，每小题5分13（5分）【考点】：对数的运算性质【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】利用对数函数的性质、运算法则求解【解答】解：故答案为：【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质、运算法则的合理运用14（5分）函数的递增区间是【考点】：复合函数的单调性【专题】15：综合题【分析】确定函数的定义域，确定内、外函数的单调性，即可求得结论【解答】解：令，则函数在上单调递增当时，可得或在上单调增函数的递增区间是故答案为：【点评】本题考查复合函数的单调性，解题的关键是确定函数的定义域，确定内、外函数的单调性，属于中档题15（5分）已知是定义在实数集上的函数，当，时，且对任意都有，则【考点】：抽象函数及其应用；：函数的值【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据当，时，先求的值，进而根据迭代可得答案【解答】解：，又当，时，又对任意都有，故答案为：【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档16（5分）已知是定义在上的偶函数，且当时，若满足：，时，是定义在上的周期函数，存在使得则的值为【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，判断函数的对称性，利用对称性建立方程进行求解即可【解答】解：是定义在上的偶函数，且当时，当时，即此时函数关于，时，对称轴，则，则，若存在使得，则，即，则，函数的周期是2，则，则，则，则（1），则，则，则，故答案为：【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，利用函数奇偶性和对称性的性质以及函数的周期性建立方程关系是解决本题的关键三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）函数关于对称（1）求得值；（2）解不等式【考点】：函数的图象与图象的变换；：其他不等式的解法【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】（1）利用函数关于对称，得到（2），解得（2）将解析式代入，解分式型不等式【解答】解：（1）因为函数关于对称，所以（2），解得；（2）不等式为，化简得，即，所以或，解得或【点评】本题考查了含有指数函数的不等式解法；注意指数函数的值域属于基础题18（12分）二次函数开口向上，且满足恒成立已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形（1）求的解析式；（2）讨论在，的最小值【考点】：二次函数的性质与图象【专题】33：函数思想；：分类法；51：函数的性质及应用【分析】（1）的对称轴为，从而得出的零点和顶点坐标，利用待定系数法求出解析式；（2）讨论对称轴和区间，的位置关系，得出的单调性，根据单调性计算最小值【解答】解：（1），的对称轴为，的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形，且开口向上，的两个零点为1，3，顶点坐标为，设，则（2），即，（2）若，则在，上是增函数，若，即时，在，上先减后增，（2），若，即时，在，上是减函数，综上，【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数的最值计算，属于中档题19（12分）四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值【考点】：直线与平面平行；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离【分析】（1）取为中点，连结，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值【解答】证明：（1）取为中点，连结，点，分别为，的中点，是中位线，又是平行四边形，是中点，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面解：（2）平面，又，面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，设面的法向量，则，取，得，1，设面的法向量，则，取，得，二面角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）已知抛物线焦点为，准线为，为上任意点过作的两条切线，切点分别为，（1）若在轴上，求；（2）求证：以为直径的圆恒过定点【考点】：抛物线的性质【专题】35：转化思想；：定义法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由，设直线方程，代入抛物线方程，由，求得直线的斜率，代入方程求得切点分别为，坐标，即可求得求；（2）由对称性可知：该点必在轴上，设，设，则切线为，求得，根据，即可求得的值【解答】解：（1）由已知可知：抛物线焦点为，设，整理得：，由，即，解得：，代入求得，切点分别为和坐标为，；（2）证明：由对称性可知：该点必在轴上，设，设，则切线为，由题意可知：，即，整理得：，恒过点【点评】本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知函数恰有两个零点，（1）求的范围；（2）求证：【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】1：常规题型；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用【分析】（1）要使得有两个零点，即有两个零点，即求的最小值要小于0即可（2）要求证 即求证；令，；所以，原不等式即证：【解答】解：（1），函数的定义域为设，所以有两个零点，时，单调递增，显然不成立；时，令，则导函数零点为；所以在上单调递减，上单调递增，故最小值为（a），要使得有两个零点，则（a），解得：所以的取值范围为：，证明：（2）因为；：；：；令，所以，原不等式即证：即证：设，有所以单调递增，所以（1），所以不等式得证【点评】本题主要考查了函数零点、利用导数求函数的最小值以及转化思想在证明中的应用，属中等题选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，是圆的直径，点在弧上，点为弧的中点，做于点，与交于点，与交于点（）证明：（）若，求圆的半径【考点】：与圆有关的比例线段【专题】14：证明题；17：选作题；35：转化思想；49：综合法；：推理和证明【分析】（）证明：，即可证明（）由，求出，直角中由勾股定理知，即可求圆的半径【解答】证明：（）连接，点为弧的中点，（2分）又，是圆的直径，（4分）， （5分）（）由知 （8分）直角中由勾股定理知 （9分）圆的半径为 （10分）【点评】本题考查圆的直径的性质，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在直角坐标系中，直线的参数