2017学年贵州省贵阳一中高三（下）第六次适应性数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年贵州省贵阳一中高三（下）第六次适应性数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）等于ABCD2（5分）已知集合，2，则AB，C，1，2，D，0，1，2，3（5分）若向量，满足条件，则等于A6B5C4D34（5分）已知圆，将直线向上平移2个单位与之相切，则实数的值为A或3B或8C或4D0或65（5分）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有A360种B320种C108种D96种6（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是ABCD7（5分）已知函数的图象关于直线对称，则的可能取值是ABCD8（5分）读程序：则运行程序后输出结果判断正确的是ABCD9（5分）已知，则ABCD10（5分）已知函数，其中，记函数满足条件的事件为，则事件发生的概率为ABCD11（5分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交，于，两点，若，且在线段上，则双曲线的渐近线斜率为ABCD12（5分）设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，则函数在区间上的所有零点的和为A6B7C13D14二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）的内角，的对边分别为，若，则 14（5分）已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列五个命题：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）15（5分）小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是 16（5分）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列，满足（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，对一切都成立，求数列的通项公式18（12分）某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率19（12分）如图，等腰中，点，分别在，上，为边上的中点，交于点，将沿折到的位置，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的一个顶点的坐标为，且右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数，其中，（1）当时，在处取得极值，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，求的取值范围；求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的圆心在射线上，且与直线相切于点（1）求圆的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为为参数），直线交圆于，两点，求弦长的取值范围选修4-5：不等式选讲23若不等式对于任意都成立（1）求的值；（2）设，求证：2016-2017学年贵州省贵阳一中高三（下）第六次适应性数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）等于ABCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】由平方公式展开，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）已知集合，2，则AB，C，1，2，D，0，1，2，【考点】：交集及其运算【专题】37：集合思想；：定义法；59：不等式的解法及应用【分析】化简集合、根据交集的定义写出【解答】解：集合，1，2，则，故选：【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题3（5分）若向量，满足条件，则等于A6B5C4D3【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】34：方程思想；48：分析法；：平面向量及应用【分析】由向量的加减运算可得，运用向量数量积的坐标表示，解方程即可得到的值【解答】解：向量，又，故选：【点评】本题考查向量的加减运算和向量数量积的坐标表示，考查方程思想，以及化简整理的运算能力，属于基础题4（5分）已知圆，将直线向上平移2个单位与之相切，则实数的值为A或3B或8C或4D0或6【考点】：直线与圆的位置关系【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：直线与圆【分析】根据直线平移的规律，由直线向上平移2个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值【解答】解：由题意知：直线平移后方程为圆的圆心坐标为，半径为又直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即，得或8，故选：【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题5（5分）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有A360种B320种C108种D96种【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；32：分类讨论；：转化法；：排列组合【分析】由题意相邻两块的颜色不同，通过对涂色区域编号，分别选出2种颜色、3种颜色、4种颜色涂色，求出各自的涂色方案种数，即可得到结果【解答】解：对涂色区域编号，如图：分别用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法为：；涂3色时，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是；涂4色时涂色方法是，所以涂色方案有：故选：【点评】本题是中档题，考查排列组合计数原理的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力6（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体【解答】解：由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，故其表面积为，故选：【点评】本题考查了圆柱和三棱柱的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）已知函数的图象关于直线对称，则的可能取值是ABCD【考点】：正弦函数的图象【专题】34：方程思想；：转化法【分析】根据正弦函数求解出对称轴的方程，可得答案【解答】解：由题意，得，令，可得，满足题意，故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，对称轴方程的求法，比较基础8（5分）读程序：则运行程序后输出结果判断正确的是ABCD【考点】：伪代码（算法语句）【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：算法和程序框图【分析】利用裂项求和，分别求和，即可得出结论【解答】解：，故选：【点评】本题考查伪代码，考查数列求和，正确求和是关键9（5分）已知，则ABCD【考点】：二倍角的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解【解答】解：，化简得，故选：【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10（5分）已知函数，其中，记函数满足条件的事件为，则事件发生的概率为ABCD【考点】：二次函数的性质与图象【专题】15：综合题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用；：概率与统计【分析】根据二次函数解析式，可得事件对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组，和可得对应的平面区域，分别得到矩形和影音部分的面积，即可得到事件发生的概率【解答】解：，不等式，可得以为横坐标、为纵坐标建立直角坐标系，将不等式，和对应的平面区域作出，如图所示不等式组，对应图中的矩形，其中，可得，对应图中的阴影部分的面积为事件发生的概率为（A）故选：【点评】本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件发生的概率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题11（5分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交，于，两点，若，且在线段上，则双曲线的渐近线斜率为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知与轴交于点，设，则，中，可得，即可求出双曲线的渐近线斜率【解答】解：由已知与轴交于点，设，则，中，可得，设、，整理，得，中，双曲线的渐近线斜率为故选：【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题12（5分）设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，则函数在区间上的所有零点的和为A6B7C13D14【考点】：函数奇偶性的性质与判断；52：函数零点的判定定理【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】确定函数的周期为4，且的图象关于直线对称，在区间上的零点，即方程的零点，利用图象可得结论【解答】解：由题意，函数，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称在区间上的零点，即方程的零点，画函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选：【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）的内角，的对边分别为，若，则【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求，进而利用正弦定理可求的值【解答】解：，由题意可得：，故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（5分）已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列五个命题：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：空间位置关系与距离【分析】在中，得到，从而；在中，与平行或相交；在中，由面面垂直的判定定理得；在中，与平行或相交；在中，由线面平行的性质定理得【解答】解：由，是两个不同的平面，是两条不同的直线，知：在中，若，则，又因为，则，故正确；在中，如果，那么与平行或相交，故错误；在中，如果，则由面面垂直的判定定理得，故正确；在中，如果，那么与平行或相交，故错误；在中，如果，那么由线面平行的性质定理得，故正确故答案为：【点评】本题命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用15（5分）小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是6元和11元【考点】：进行简单的合情推理【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：推理和证明【分析】确定三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各抢到的金额之和相等，所以三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额为6元和11元故答案为6元和11元【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（5分）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用【分析】设直线与和的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值【解答】解：设直线与和的切点分别为和，则切线分别为，化简得：，依题意有：，所以故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列，满足（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，对一切都成立，求数列的通项公式【考点】84：等差数列的通项公式；：数列的求和【专题】35：转化思想；48：分析法；：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）将已知等式两边同除以，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）运用数列的递推式，时，求得，时，换为，相减可得所求，注意检验的情况【解答】（1）证明：，数列构成以为首项，为公差的等差数列，即（2）解：，即，时，由，得时，由，得：，检验时满足上式【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列递推式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题18（12分）某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件，由此能求出2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率【解答】（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为0，1，2，设“2016年期末考试时取到个新题库（即”为事件，1，又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，所以；，所以的分布列为012的数学期望为（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件，而事件，互斥，所以所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）如图，等腰中，点，分别在，上，为边上的中点，交于点，将沿折到的位置，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间向量及应用【分析】（1）证明，即可得到平面（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解【解答】解：（1）证明：是等腰三角形，且，又，则又由，得，则，故为中点，则，又，则，则，又，平面（2）解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，0，3，0，设平面的一个法向量为，由得取，得，同理可求得平面的一个法向量设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求解二面角，属于中档题20（12分）已知椭圆的一个顶点的坐标为，且右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【考点】：直线与椭圆的综合【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由，利用点到直线的距离公式，求得和的值，求得椭圆方程；（2）假设存在直线的方程，代入椭圆方程，由，求得取值范围，利用韦达定理，中点坐标公式，求得点坐标，由四边形为平行四边形，则为线段的中点，求得的纵坐标，根据的取值范围即可判断不在椭圆上，故直线的方程不存在【解答】解：（1）由椭圆的焦点在轴上，则，故椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得，则，且，解得：，故，由，知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此为线段的中点，可得，又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及判别式的应用，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知函数，其中，（1）当时，在处取得极值，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，求的取值范围；求证：【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用【分析】（1）由求导，由题意可知：，即可求得的值，根据函数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间；（2），求导，分类，由导数与函数极值的关系，则极大值为，解得且时，时，则当时，有两个零点；由题意可知：，要证，即证，则则，构造辅助函数，求导，根根据函数的单调性，则（1），则，即可证明，【解答】解：（1）由已知得，由在处取得极值，则，则则，由得，由得的减区间为，增区间为（2）由已知，当时，显然恒成立，此时函数在定义域内递增，至多有一个零点，不合题意当时，令得，令得；令得极大值为，解得且时，时，当时，有两个零点证明：，为函数的两个零