2018学年广东省广州市华南师大附中高三（上）+综合测试数学试卷（理科）（三）（含解析）VIP

2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高三（上） 综合测试数学试卷（理科）（三）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在复平面内，复数为虚数单位），则为A1B2C3D42（5分）已知集合，则集合ABC，D，0，3（5分）“”是“”的一个A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知，则的值是ABCD35（5分）如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、之间的空间距离为，则AB1CD6（5分）已知向量，若与的夹角为，且，则实数的值为ABCD7（5分）已知，满足约束条件，若的最小值为1，则等于ABC1D28（5分）A7BCD49（5分）已知双曲线，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为ABC2D10（5分）如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是ABC，D11（5分）函数的图象大致为ABCD12（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2个零点；的解集为，都有其中正确命题的个数是A4B3C2D1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线在点，处的切线方程是 14（5分）在中，为，的对边，成等比数列，则 15（5分）已知函数，若，满足（a）（b）（c），则的范围为 16（5分）设有两个命题，：关于的不等式的解集是；：函数的定义域为如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17（12分）设数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和18（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望19（12分）在五面体中，平面平面（1）证明：直线平面；（2）已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角一一的大小为20（12分）已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的中垂线与交于点（1）求动点的轨迹方程；（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点证明：点恒在曲线上；求面积的最大值21（12分）函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，求证：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线的参数方程为为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数，记的最小值为（1）解不等式；（2）是否存在正数、，同时满足：，？并证明2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高三（上） 综合测试数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在复平面内，复数为虚数单位），则为A1B2C3D4【考点】：复数的模【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；：数系的扩充和复数【分析】利用复数模的计算公式、三角函数平方关系即可得出【解答】解：故选：【点评】本题考查了复复数模的计算公式、三角函数平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）已知集合，则集合ABC，D，0，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】：集合【分析】由已知求出，然后利用补集运算得答案【解答】解：，则，0，故选：【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题3（5分）“”是“”的一个A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；：简易逻辑【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当“”时，则或，此时可能无意义，故“”不一定成立，而当“”时，则或，“”成立，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的性质是解决本题的关键，比较基础4（5分）已知，则的值是ABCD3【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】11：计算题；33：函数思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】由已知化弦为切求得，再把转化为含有的代数式求解【解答】解：由，得，解得故选：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题5（5分）如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、之间的空间距离为，则AB1CD【考点】：点、线、面间的距离计算【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质；：空间位置关系与距离【分析】根据图象可得，在轴上的投影的距离为，根据、两点之间的距离，求得的值，可得的值，从而求得函数的解析式，从而求得的值【解答】解：根据图象可得，在轴上的投影的距离为，、两点之间的距离，得，再根据，得，故选：【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，空间距离公式的应用，属于中档题6（5分）已知向量，若与的夹角为，且，则实数的值为ABCD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；：平面向量及应用【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据求得实数的值【解答】解：向量，与的夹角为，即，故选：【点评】本题主要考查了向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）已知，满足约束条件，若的最小值为1，则等于ABC1D2【考点】：简单线性规划【专题】31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定的最优解，然后确定的值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：，将最大值转化为轴上的截距的最大值，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线得，；故选：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法8（5分）A7BCD4【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】38：对应思想；：定义法；53：导数的综合应用【分析】先去掉绝对值，再求定积分的值【解答】解：故选：【点评】本题考查了定积分的计算问题，是基础题9（5分）已知双曲线，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为ABC2D【考点】：双曲线的性质【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可知：四边形为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得，在中，利用勾股定理即可求得和的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为，则，四边形为平行四边，则，由，根据椭圆的定义，在中，则，整理得：，则双曲线的离心率，故选：【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题10（5分）如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是ABC，D【考点】52：函数零点的判定定理【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由二次函数图象的对称轴确定的范围，据的表达式计算和（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间【解答】解：由函数的部分图象得，（1），即有，从而，而在定义域内单调递增，由函数的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：，解得，（1），函数的零点所在的区间是，；故选：【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题11（5分）函数的图象大致为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换；：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】11：计算题；31：数形结合；4：解题方法；53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，求出极值点以及函数的极值的符号，判断选项即可【解答】解：函数，可得，令，可得或，函数由3个极值点，排除，；当时，排除，故选：【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值点的求法，函数的图象的判断，是中档题12（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2个零点；的解集为，都有其中正确命题的个数是A4B3C2D1【考点】：命题的真假判断与应用；：奇偶性与单调性的综合【专题】32：分类讨论；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据为奇函数，可设，从而有，从而可求出，从而可看出，1，0都是的零点，这便得出错误，而由解析式便可解出的解集，从而判断出的正误，可分别对和时的求导数，根据导数符号可判断的单调性，根据单调性即可求出的值域，这样便可得出，都有【解答】解：为上的奇函数，设，则：；故错误，（1）；又；有3个零点；故错误，当时，由，得；即，当时，由，得；得，的解集为，；故正确，当时，；时，时，；在上单调递减，在上单调递增；时，取最小值，且时，；即；当时，；在上单调递增，在上单调递减；时，取最大值，且时，；又，；的值域为，；，都有；故正确，正确的命题为故选：【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，结合函数奇偶性的性质求出函数的解析式，以及利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线在点，处的切线方程是【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到切线的方程【解答】解：的导数为；，曲线在点，处的切线的方程为即故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题14（5分）在中，为，的对边，成等比数列，则【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】54：等差数列与等比数列；58：解三角形；：平面向量及应用【分析】根据，成等比数列和余弦定理求得的值，再计算数量积的值【解答】解：中，且，成等比数列，由余弦定理可得，即，解得；故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积与等比数列、余弦定理的应用问题，是中档题15（5分）已知函数，若，满足（a）（b）（c），则的范围为【考点】：分段函数的应用【专题】11：计算题；13：作图题；51：函数的性质及应用【分析】作函数的图象，从而可得，（c）；从而求得【解答】解：作函数的图象如下，满足（a）（b）（c），即；（c），（c）；故；故答案为：【点评】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用16（5分）设有两个命题，：关于的不等式的解集是；：函数的定义域为如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是或【考点】：复合命题及其真假【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；：简易逻辑【分析】：关于的不等式的解集是，则；：函数的定义域为，时不成立，时，则，解得范围如果为真命题，为假命题，则命题与必然一真一假【解答】解：关于的不等式的解集是，则；：函数的定义域为，时不成立，时，则，解得如果为真命题，为假命题，则命题与必然一真一假，或，解得则实数的取值范围是故答案为：或【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17（12分）设数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出答案【解答】解：（1）由得，两式相减得当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，则（2）由（1）知，所以则数列的前项和【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题18（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望【考点】：频率分布直方图；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】：概率与统计【分析】（1）通过各组的频率和等于1，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可（2）分别求出，”的人数是18，15，3然后利用古典概型概率求解即可（3）判断概率类型，即可写出分布列求解期望即可【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：（1分）直方图如右所示（2分）中位数是计这次考试的中位数是73.3（3分）（4分）（2），”的人数是18，15，3所以从成绩是70（分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率（8分）（3）因为，所以其分布列为：数学期望为（12分）【点评】本题考查古典概型的概率的求法，频率分布直方图的画法，二项分布的分布列以及期望的求法，考查计算能力19（12分）在五面体中，平面平面（1）证明：直线平面；（2）已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角一一的大小为【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离【分析】（1）由四边形是菱形，从而，平面，由此能证明直线平面（2）推导出，从而平面，以为原点，为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点在靠近点的的三等分点处【解答】证明：（1），四边形是菱形，平面平面，平面平面，平面，又，直线平面解：（2），为正三角形，取的中点，连结，则，平面平面，平面，平面平面，平面，两两垂直，以为原点，为，轴，建立空间直角坐标系，1，由（1）知，是平面的法向量，1，设，则，设平面的法向量，则，取，则，二面角为，解得，点在靠近点的的三等分点处【点评】本题线面垂直的证明，考查使二面角为的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20（12分）已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的中垂线与交于点（1）求动点的轨迹方程；（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点证明：点恒在曲线上；求面积的最大值【考点】：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意结合椭圆定义可得动点的轨迹是椭圆，并得到，的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）设出、的坐标得到、所在直线方程，联立两直线方程可得交点的坐标，代入椭圆的方程中已知成立，说明点恒在曲线上；设直线，联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，代入三角形的面积公式，可得面积，利用换元法求得【解答】（1）解：由题意得，又，由椭圆的定义知，故动点的轨迹；（2）证明：设，则，且直线，即，直线，即联立，解得则点恒在曲线上；解：设直线，则由，得从而令，则函数在，上单调递增，故（1）即当时，面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，考查三角形面积最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题21（12分）函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，求证：【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）先求函数的定义域，再求导数，由于含参数，分类讨论解不等式，即可；（2）问题等价于方程在区间上有两个不相等的实数根令，利用根与系数的关系以及导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】（1）解：函数的定义域为，当时，在上单调递增；当时，有两个解，且，若，即时，此时在，上单调递增，在，上单调递减；若，即时，此时在上单调递减，在，上单调递增；（2）证明：若函数有两个极值点，且，则在区间上有两个不相等的实数根，即方程在区间上有两个不相等的实数根记，由（1），令，记，分母，分子在，上单调递增，因此函数存在唯一零点，使得当，；当，时，而在，单调递减，在，单调递增而，函数在，上单调递减，可得：，即，故【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线的参数方程为为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（）若，求直线的极坐标方程