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第5课时数学归纳法 理科 一 考纲点击1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 二 命题趋势1 从考查内容看 本考点主要考查数学归纳法的原理和证题步骤 一般不单独命题 2 从考查形式看 题型一般为解答题 常与不等式 数列等结合在一起命题 难度中上 考查归纳 猜想 证明的推理证明方法 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 取第一个值n0 n0 n n k 1 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 解析 因为假设n k k 2且k为偶数 故下一个偶数为k 2 故选b 答案 b 1 数学归纳法的应用 1 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法 它们的表述严格而且规范 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 验算n n0的n0不一定为1 而是根据题目要求 选择合适的起始值 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在n k 1时一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结论 2 在用数学归纳法证明问题的过程中 要注意从k到k 1时命题中的项与项数的变化 防止对项数估算错误 2 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 当n k 1时结论仍然成立 由 1 2 可知 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n n 归纳提升 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 归纳提升 1 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有 1 放缩法 2 利用基本不等式法 3 作差比较法等 归纳提升 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 易错易混 数学归纳法证明命题中的易误点 典例 2014 九
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