数学导航高考数学大一轮复习 第二章 14导数与函数的单调性与极值课件 文.ppt

导数与函数的单调性与极值 温馨提示 请点击相关栏目 整知识 萃取知识精华 整方法 启迪发散思维 考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三 1 函数的单调性与导数 整知识 结束放映 返回导航页 2 函数的极值与导数 结束放映 返回导航页 1 导数与函数单调性的关系 1 f x 0 或f x 0 是f x 在 a b 内单调递增 或递减 的充分不必要条件 2 f x 0 或f x 0 是f x 在 a b 内单调递增 或递减 的必要不充分条件 f x 0不恒成立 2 求可导函数f x 的极值的步骤 整方法 考点 分类整合 1 求导函数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的函数值的符号 如果左正右负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 可列表完成 结束放映 返回导航页 考向分层突破一 利用导数研究函数的单调性 由k 0 知ex kx 0 令f x 0 则x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 为增函数 综上 f x 的减区间为 0 2 增区间为 2 例1 2014 山东卷节选 设函数f x k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 当k 0时 求函数f x 的单调区间 解析 结束放映 返回导航页 跟踪训练已知函数f x x 1 0 0 判断函数f x 的单调性 当x 1 0 时 g x 0 g x 为增函数 当x 0 时 g x 0 g x 为减函数 所以g x g 0 0 即f x 0 所以在x 1 0 0 时 f x 0 所以f x 在区间 1 0 0 上为减函数 结束放映 返回导航页 1 用导数法求可导函数单调区间的一般步骤 归纳升华 2 用导数法证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确定f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 结束放映 返回导航页 考向分层突破二 已知函数的单调性求参数的范围 解析 1 由f x x3 ax2 x c 得f x 3x2 2ax 1 当x 时 得a 解之 得a 1 2 函数g x f x x3 ex x2 x c ex有g x 2x 1 ex x2 x c ex x2 3x c 1 ex 因为函数g x 在x 3 2 上单调递增 所以h x x2 3x c 1 0在x 3 2 上恒成立 只要h 2 0 解得c 11 所以c的取值范围是 11 结束放映 返回导航页 同类练1 已知函数f x x2 bsinx 2 b r f x f x 2 且对于任意实数x 恒有f x f x 0 1 求函数f x 的解析式 2 已知函数g x f x 2 x 1 alnx在区间 0 1 上单调递减 求实数a的取值范围 解析 1 f x f x 2 x2 bsinx 2 2 x2 bsinx 依题意 对任意实数x 恒有f x f x 0 即x2 bsinx x 2 bsin x 0 即2bsinx 0 所以b 0 所以f x x2 2 结束放映 返回导航页 2x2 2x 在 0 1 上单调递减 2x2 2x 4 a 4为所求 2 g x x2 2 2 x 1 alnx g x x2 2x alnx g x 2x 2 函数g x 在 0 1 上单调递减 2x2 2x 4 在区间 0 1 内 g x 2x 2 0恒成立 a 2x2 2x 在 0 1 上恒成立 结束放映 返回导航页 变式练2 已知函数f x 2x2 lnx 其中a为常数 1 若a 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 1 2 上为单调函数 求a的取值范围 解析 1 若a 1 则f x 3x 2x2 lnx的定义域为 0 当x 0 1 f x 0时 函数f x 3x 2x2 lnx单调递增 当x 1 f x 0时 函数f x 3x 2x2 lnx单调递减 故函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 结束放映 返回导航页 若函数f x 在区间 1 2 上为单调函数 即在 1 2 上 结束放映 返回导航页 拓展练3 已知函数f x x3 ax 1 若f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解析 f x x3 ax 1 f x 3x2 a f x 在区间 1 1 上不单调 0 1 得0 a 3 即a的取值范围为 0 3 由f x 0 得x a 0 结束放映 返回导航页 拓展练4 2014 太原模拟 设f x 若f x 在上存在单调递增区间 求a的取值范围 结束放映 返回导航页 归纳升华 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 来求解 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 结束放映 返回导航页 考向分层突破三 利用导数研究函数的极值 令f x 0 解得x 1或x 5 因为x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 由此知函数f x 在x 5时取得极小值f 5 ln5 例3 2014 重庆卷 已知函数f x 其中a r 且曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y 12x 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 解析 1 对f x 求导得f x 由f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y x知f 1 a 2 解得a 2 由 1 知f x 则f x 结束放映 返回导航页 考向分层突破三 利用导数研究函数的极值 例3 2014 重庆卷 已知函数f x 其中a r 且曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y 12x 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 解析 1 对f x 求导得f x 由f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y x知f 1 a 2 解得a 2 由 1 知f x 2x3 3x2 12x 1 所以f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 令f x 0 即6 x 1 x 2 0 解得x 2或x 1 当x 2 时 f x 0 即f x 在 2 上单调递增 当x 2 1 时 f x 0 即f x 在 1 上单调递增 从而函数f x 在x 2处取得极大值f 2 21 在x 1处取得极小值f 1 6 结束放映 返回导航页 变式练2 若函数y f x 在x x0处取得极大值或极小值 则称x0为函数y f x 的极值点 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 1 求a和b的值 2 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 解析 1 由题设知f x 3x2 2ax b f 1 3 2a b 0 f 1 3 2a b 0 解得a 0 b 3 2 由 1 知f x x3 3x 因为f x 2 x 1 2 x 2 所以g x 0的根为x1 x2 1 x3 2 于是函数g x 的极值点只可能是1或 2 当x0 故 2是g x 的极值点 当 21时 g x 0 故1不是g x 的极值点 所以g x 的极值点为 2 结束放映 返回导航页 拓展练3 已知函数f x ax2 ex a r e为自然对数的底数 f x 是f x 的导函数 1 解关于x的不等式 f x f x 2 若f x 有两个极值点x1 x2 求实数a的取值范围 解析 1 f x 2ax ex f x f x ax x 2 0 当a 0时 无解 当a 0时 解集为 x x2 当a 0时 解集为 x 0 x 2 2 设g x f x 2ax ex 则x1 x2是方程g x 0的两个根 g x 2a ex 当a 0时 g x 0恒成立 g x 单调递减 方程g x 0不可能有两个根 当a 0时 由g x 0 得x ln2a 当x ln2a 时 g x 0 g x 单调递增 当x ln2a 时 g x 0 g x 单调递减 当g x max 0时 方程g x 0才有两个根 g x max g ln2a 2aln2a 2a 0 得a a的