高中数学 3.3《几何概型》课件（1） 苏教版必修3.ppt

几何概型 复习 古典概型的两个基本特点 1 所有的基本事件只有有限个 2 每个基本事件发生都是等可能的 1 小猫钓鱼游戏中 若鱼钩落在红色的正方形内就可获得一等奖 问获得一等奖的概率有多大 若改为圆呢 鱼钩落在大正方形内的任意点 每个基本事件发生都是等可能的吗 基本事件 2 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大 从3m的绳子上的任意一点剪断 每个基本事件发生都是等可能的吗 基本事件 思考 这三个问题能否用古典概型的方法来求解吗 怎么办呢 3 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设每箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率是多少 射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 每个基本事件发生都是等可能的吗 基本事件 记 剪得两段绳长都不小于1m 为事件a 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件a发生 由于中间一段的长度等于绳长的1 3 对于问题2 记 射中黄心 为事件b 由于中靶点随机地落在面积为的大圆内 而当中靶点落在面积为的黄心内时 事件b发生 对于问题3 事件b发生的概率 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一个点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型 几何概型的特点 1 基本事件有无限多个 2 基本事件发生是等可能的 构建数学 一般地 在几何区域d中随机地取一点 记 该点落在其内部一个区域d内 为事件a 则事件a发生的概率 你现在会求几何概型的概率了吗 d的测度不为0 当d分别是线段 平面图形 立体图形等时 相应的 测度 分别是长度 面积和体积 区域应指 开区域 不包含边界点 在区域d内随机取点是指 该点落在d内任何一处都是等可能的 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关 探究 根据前面的情境问题 你怎么来理解测度这个概念的 它可以表示哪些量 注意 几何概型是无限多个等可能事件的情况 而古典概型中的等可能事件只有有限多个 想一想 古典概型与几何概型的区别是什么 例1 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 解 记 豆子落入圆内 为事件a 数学拓展 模拟撒豆子试验估计圆周率 由此可得 如果向正方形内撒n颗豆子 其中落在圆内的豆子数为m 那么当n很大时 比值m n 即频率应接近与p a 于是有 2 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子 并在绳子上挂一盏灯 求灯与两端距离都大于3m的概率 记 灯与两端距离都大于3m 为事件a 由于绳长8m 当挂灯位置介于中间2m时 事件a发生 于是 事件a发生的概率 解 1 某人上班前 发觉表停了 他打开收音机想听电台整点报时 求他等待的时间短于10分钟的概率 打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内则事件a发生 由几何概型的求概率公式得p a 60 50 60 1 6即 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 练一练 解 记 等待的时间小于10分钟 为事件a 2 已知地铁列车每10min一班 在车站停1min 求乘客到达站台立即乘上车的概率 3 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油 假如在海域中任意一点钻探 钻到油层面的概率是多少 4 如右下图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 练一练 课堂小结 1 几何概型的定义 2 几何概型的特点 3 几何概型与古典概型的区别 4 几何概型概率的求法 课堂作业 课本第103页习题 第 题 例3 在1l高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10ml 含有麦锈病种子的概率是多少 5 有一杯1升的水 其中含有1个大肠杆菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 练一练 解 记 取出10ml麦种 其中含有麦锈病种子 为事件a 例4 在等腰直角三角形abc中 在斜边ab上任取一点m 求am小于ac的概率 解 在ab上截取ac ac于是p am ac p am ac 答 am小于ac的概率为 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话 发现30min的磁带上 从开始30s处起 有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息 后来发现 这段谈话的部分被某工作人员擦掉了 该工作人员声称他完全是无意中按错了键 使从此后起往后的所有内容都被擦掉了 那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大 拓展提高 解 记事件a 按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 则事件a发生就是在 40s时间段内按错键 故 会面问题 甲 乙二人约定在12点到 点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以x y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是0 x 5 0 y 5 即点m落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 m x y 拓展提高 两人会面的条件是 012345 y x 54321 记 两人会面 为事件a 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件a 的概率是多少 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即时间a发生 所以 拓展提高 课堂小结 1 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 2 几何概型的概率公式 3