2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）（含解析）

2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数等于A4BCD2（5分）已知，若，则实数的取值范围为ABCD3（5分）在区间，上任选两个数，则的概率为ABCD4（5分）若是偶函数，则有序实数对可以是ABCD5（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”这个问题中，前5天应发大米A894升B1170升C1275米D1467米6（5分）平行四边形中，则的值为AB4CD27（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的，的值分别为A4，7B4，56C3，7D3，568（5分）如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为ABC3D49（5分）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（a）（单位的图象大致是ABCD10（5分）双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点位置变化时，周长的最小值为A8B10CD11（5分）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 12（5分）若函数在，上存在零点，且，则的取值范围是A，B，C，D，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）14（5分）设不等式组，表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是 15（5分）直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，与其准线交于点，若，则16（5分）已知数列满足，则该数列的前20项的和为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在平面四边形中，已知，在边上取点，使得，连接，若，（）求的值；（）求的长18（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，与交于，且，矩形底面，为上一动点，满足（）若平面，求实数的值；（）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积19（12分）专家研究表明，是霾的主要成份，在研究形成原因时，某研究人员研究了与燃烧排放的、等物质的相关关系下图是某地某月与和相关性的散点图（）根据上面散点图，请你就，对的影响关系做出初步评价；（）根据有关规定，当排放量低于时排放量达标，反之为排放量超标；当值大于时雾霾严重，反之雾霾不严重根据与相关性的散点图填写好下面列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：雾霾不严重雾霾严重总计排放量达标排放量超标总计（）我们知道雾霾对交通影响较大某市交通部门发现，在一个月内，当排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，排放量是60，120，180的概率一次是，求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820（12分）设、是椭圆的四个顶点，四边形是圆的外切平行四边形，其面积为椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点（）求椭圆的方程；（）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21（12分）已知函数，（）判断直线能否与曲线相切，并说明理由；（）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线为参数，为大于零的常数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为（）若曲线与有公共点，求的取值范围；（）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切于点，求的最大值选修4-5：不等式选讲23设函数，（）当时，解不等式：；（）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数等于A4BCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题【分析】由完全平方公式，知，由此利用虚数单位的性质能够求出结果【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数的代数形式的运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2（5分）已知，若，则实数的取值范围为ABCD【考点】18：集合的包含关系判断及应用【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：集合【分析】求出集合，由，列出方程组，能求出实数的取值范围【解答】解：，解得实数的取值范围为故选：【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用3（5分）在区间，上任选两个数，则的概率为ABCD【考点】：几何概型【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：概率与统计【分析】由题意，本题是几何概型，利用变量对应区域的面积比求概率即可【解答】解：由题意，在区间，上任选两个数，对应区域如图：面积为1，则的区域面积为，所以所求概率为；故选：【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度为区域的面积4（5分）若是偶函数，则有序实数对可以是ABCD【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】34：方程思想；：定义法；57：三角函数的图象与性质【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可【解答】解：函数的定义域是，若函数 是偶函数，则，即，即，排除，故选：【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键5（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”这个问题中，前5天应发大米A894升B1170升C1275米D1467米【考点】85：等差数列的前项和【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】先利用等差数列通项公式求出第5天派出的人数，再利用等差数列前项和公式求出前5天一共派出多少人，由此能求出结果【解答】解：第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，第5天派出：人，前5天共派出（人，前5天应发大米：（升故选：【点评】本题考查等差数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是基础题6（5分）平行四边形中，则的值为AB4CD2【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】31：数形结合；49：综合法；：平面向量及应用【分析】由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算公式求得的值【解答】解：如图：平行四边形中，为的中点，故选：【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题7（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的，的值分别为A4，7B4，56C3，7D3，56【考点】：程序框图【专题】38：对应思想；：试验法；：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入，满足、都是偶数，满足、都是偶数，满足、都是偶数，不满足、都是偶数，满足，满足，不满足，退出循环，输出，故选：【点评】本题考查了程序框图的运行问题，是基础题目8（5分）如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为ABC3D4【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】由几何体的三视图还原几何体，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥的组合体，根据各边是边长为1的等边三角形求表面积【解答】解：如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥则该几何体的表面积；故选：【点评】本题考查了正八面体的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（a）（单位的图象大致是ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】11：计算题；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论判断函数的图象即可【解答】解：设长为，则长为又因为要将点围在矩形内，则矩形的面积为，当时，当且仅当时，当时，分段画出函数图形可得其形状与接近故选：【点评】解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式10（5分）双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点位置变化时，周长的最小值为A8B10CD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用已知条件求出，求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，可得，双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故的周长的最小值为10故选：【点评】本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用11（5分）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是【考点】：棱锥的结构特征；：球内接多面体【专题】13：作图题；14：证明题【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的的面积【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的，已知正四面体棱长为2所以，所以截面面积是：故答案为：【点评】本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题12（5分）若函数在，上存在零点，且，则的取值范围是A，B，C，D，【考点】52：函数零点的判定定理【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】讨论零点个数，列出不等式组，作出平面区域，得出的取值范围【解答】解：设，则，关于的方程在，上有解，令，（1）若在，上存在两个零点，则，无对应的平面区域，（2）若在，上存在1个零点，则，作出平面区域如图所示：解方程组得的范围是，故选：【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，简单的线性规划，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在的展开式中，项的系数是20（用数字作答）【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式，求得项的系数【解答】解：的展开式中，项的系数是，故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题14（5分）设不等式组，表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是，【考点】：对数的运算性质【专题】31：数形结合；34：方程思想；51：函数的性质及应用；：直线与圆【分析】如图所示，不等式组，表示的平面区域为，联立，解得根据函数的图象上存在区域上的点，可得经过点时，取得最小值，可得【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为，联立，解得，函数的图象上存在区域上的点，经过点时，取得最小值，解得则实数的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查了线性规划、对数函数的单调性、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，与其准线交于点，若，则3【考点】：抛物线的性质【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过，向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线的斜率，计算可得为的中点，利用中位线定理得出的值【解答】解：过，作准线的垂线，垂足分别为，则，直线的斜率为，是的中点，即故答案为：3【点评】本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题16（5分）已知数列满足，则该数列的前20项的和为2101【考点】：数列的求和【专题】1：常规题型；16：压轴题【分析】先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可【解答】解：由题中条件知，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为 故答案为：2101【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式考查学生的运算能力三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在平面四边形中，已知，在边上取点，使得，连接，若，（）求的值；（）求的长【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（）在中，正弦定理求出；（）在中，由余弦定理得，得由余弦定理得、在直角中，求得，在中，由余弦定理得即可【解答】解：（）在中，由正弦定理得，（）在中，由余弦定理得，即，解得由余弦定理得，在直角中，在中，由余弦定理得【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题18（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，与交于，且，矩形底面，为上一动点，满足（）若平面，求实数的值；（）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面平行【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】连结，根据线面平行的性质可知，故而四边形为平行四边形，于是；以为原点建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的大小，列方程求出，代入棱锥的体积公式即可【解答】解：（）连接，在梯形中，平面，平面平面，平面，又，四边形为平行四边形，即（）距形底面，平面平面，底面，底面以为原点，以，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设，同理，0，0，0，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，得，解得：或多面体的体积为，多面体的体积为或【点评】本题考查了线面平行的性质，空间向量与空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题19（12分）专家研究表明，是霾的主要成份，在研究形成原因时，某研究人员研究了与燃烧排放的、等物质的相关关系下图是某地某月与和相关性的散点图（）根据上面散点图，请你就，对的影响关系做出初步评价；（）根据有关规定，当排放量低于时排放量达标，反之为排放量超标；当值大于时雾霾严重，反之雾霾不严重根据与相关性的散点图填写好下面列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：雾霾不严重雾霾严重总计排放量达标排放量超标总计（）我们知道雾霾对交通影响较大某市交通部门发现，在一个月内，当排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，排放量是60，120，180的概率一次是，求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【考点】：独立性检验；：离散型随机变量及其分布列【专题】12：应用题；38：对应思想；：数学模型法；：概率与统计【分析】（）根据散点图知得出结论对以及对是否有相关关系；（）填写列联表，由表中数据计算，对照临界值得出结论；（）设交通流量是，根据的分布列，计算，求出它的取值范围【解答】解：（）根据散点图知，对有正相关关系，而对没有相关关系；（）列联表如下：雾霾不严重雾霾严重总计排放量达标13518排放量超标21012总计151530由表中数据可知；故有的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”；（）设交通流量是，则得如下分布列：交通流量800600200因为，解得；所以；即，即交通流量期望值在600万辆到733.3万辆之间【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验问题，是中档题20（12分）设、是椭圆的四个顶点，四边形是圆的外切平行四边形，其面积为椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点（）求椭圆的方程；（）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【考点】：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；：设而不求法；：向量与圆锥曲线【分析】（）由题意可得关于，的方程组，求解方程组得到，的值，则椭圆方程可求；（）当直线斜率不存在时，直接求出，到直线的距离，可得的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由判别式大于0可得与的关系，利用根与系数的关系可得，横坐标的和与积，由为的重心求得的坐标把点坐标代入椭圆方程，可得由弦长公式求得，再求出点到直线的距离，代入三角形面积公式整理得答案【解答】解：（）四边形是圆外切平行四边形，又四边形的面积，联立解得，故所求椭圆 的方程为；（）当直线斜率不存在时，为的重心，为椭圆的左、右顶点，不妨设，则直线的方程为，可得，到直线的距离，当直线的斜率存在时，设直线方程为：，联立，得，则即，为的重心，点在椭圆上，故有，化简得又点到直线的距离是原点到距离的3倍得到）综上可得，的面积为定值【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查“分类讨论”的数学思想方法与“设而不求”的解题思想方法，是中档题21（12分）已知函数，（）判断直线能否与曲线相切，并说明理由；（）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，设切点为，得到设，根据函数的单调性求出的值，判断结论即可；（）根据，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论的范围，求出满足条件的的范围即可【解答】解：（）假设存在这一的实数使得的图象与相切，设切点为，由可知，即又函数的图象过定点，因此，即联立、消去有设，则，所以在上单调递增，而，（1），（1），故存在，使得，所以存在直线能与曲线相切（）由得令，则令，则，所以在上单调递增，又，（1），所以在上有唯一零点，此时在上单调递减，在，上单调递增，易证，当时，；当时，（1）（1）若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；（2）若，即，因为在，上单调递减，在，上单调递增，所以时，（1），所以无整数解，不合题意；（3）若，即，此时（1），故0，1是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，解得所以，