高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课件 文.pptVIP

第一节数列的概念与简单表示法 第五章数列 考纲要求 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 课前自修 知识梳理 一 数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每个数叫做这个数列的项 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列 二 通项公式如果数列 an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 即an f n 数列的实质是定义域为正整数集n 或n 的有限子集 1 2 3 n 的函数 通项公式an f n 即为函数的解析式 其中项数n相当于自变量 项an相当于函数值 三 递推公式如果已知数列 an 的第一项 或前几项 且任何一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个式子来表示 即an f an 1 或an f an 1 an 2 那么这个式子就叫做数列 an 的递推公式 如数列 an 中 a1 1 an 1 2an 1 其中式子an 1 2an 1就是数列 an 的递推公式 四 数列的表示1 列举法 如1 3 5 7 9 2 图解法 由 n an 点构成 3 解析法 用通项公式an f n 表示 如an 2n 1 4 递推法 用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项 如a1 1 an 1 2an 1 五 数列分类有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数数列 有界数列 无界数列 六 数列 an 的前n项和snsn a1 a2 an 注意 前n项和sn a1 a2 a3 an 1 an g n 也为n的函数 七 数列 an 的前n项和sn与通项an的关系an 注意 如果求出的a1也满足n 2时的an 则可统一写成同一个关系式 否则分段书写 八 数列中最大 最小项的求法若an最大 则若an最小 则考虑数列的单调性 基础自测 1 2012 江门市一模 已知数列 an 的前n项和sn n2 3n 若它的第k项满足2 ak 5 则k a 2b 3c 4d 5 解析 ak sk sk 1 k2 3k k 1 2 3 k 1 2k 4 依题意有2 2k 4 5 得k 4 故选c 答案 c 2 2012 天津一中月考 已知数列a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n n 则a2014 a 1b 4c 4d 1 解析 逐项计算可知 an 是周期为6的周期数列 前6项分别是1 5 4 1 5 4 所以a2014 a2010 4 a4 1 故选d 答案 d 3 2012 温州中学月考 已知数列 an 中 a1 4 an 4n 1an 1 n 1 n n 则通项公式为 解析 由an 4n 1an 1可得a2 4a1 a3 42a2 a4 43a3 an 4n 1an 1 上述n 1个等式相乘 得an 41 2 n 1 a1 答案 4 2012 浙江高考参考样卷 设sn是数列 an 的前n项和 已知a1 1 an snsn 1 n 2 则sn 考点探究 考点一 给出数列的前几项 求数列的通项公式 例1 求下列数列的一个通项公式 1 1 1 1 1 2 3 5 9 17 33 3 2 8 4 1 0 0 0 0 5 5 55 555 5555 思路点拨 解此类问题主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系 这对考生的归纳推理能力有较高的要求 n个5 点评 已知数列的前几项 写出数列的通项公式 主要从以下几个方面来考虑 1 符号用 1 n与 1 n 1来调节 这是因为n和n 1奇偶交错 2 分式形式的数列 分子找通项 分母找通项 要充分借助分子 分母的关系 3 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数列 后面将复习到 和其他方法来解决 4 此类问题无固定模式 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 变式探究 1 1 数列 1 7 13 19 的一个通项公式是an 解析 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 答案 1 1 n 6n 5 2 数列 an 的前4项是 1 则这个数列的通项公式是an 解析 将数列统一为 分子3 5 7 9 是等差数列 通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的通项公式为an n2 1 所以可得它的一个通项公式为an 答案 3 数列0 5 0 55 0 555 的一个通项公式是an 4 数列1 的一个通项公式是an 考点二 由递推公式求数列的前几项 并由此写出通项公式 例2 2012 瑞安市十校联考 若数列 an 的通项公式an 记cn 2 1 a1 1 a2 1 an 试通过计算c1 c2 c3的值 推测出cn 思路点拨 根据已知等式写出前3项 注意将c1 c2 c3的结果写成相同的结构形式 不要写成小数 这样方便观察规律 得出一般表达式 点评 1 从特殊的事例 通过分析 归纳 抽象总结出一般规律 再进行科学的证明 这是创新意识的具体体现 这种探索问题的方法 在解数列的有关问题中经常用到 应引起足够的重视 2 对递推公式 要求写出前几项 并猜想其通项公式 此外了解常用的处理办法 如迭加 迭代 迭乘及变形后结合等差 比 数列公式 也很必要 3 求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导 同学们不妨一试 变式探究 2 1 2011 成都市模拟 设数列中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 2 在数列 an 中 已知a1 1 an 1 则an 答案 提示 用倒数法 迭加法即可求得 考点三 已知sn与an的关系式 求通项公式an 例3 2011 漳州市模拟 已知各项均为正数的数列 an 的前n项和满足sn 1 且6sn an 1 an 2 n n 求 an 的通项公式 解析 由a1 s1 a1 1 a1 2 解得a1 1或a1 2 由题设知a1 s1 1 因此a1 2 又由an 1 sn 1 sn an 1 1 an 1 2 an 1 an 2 得an 1 an 3 0或an 1 an 因an 0 故an 1 an不成立 舍去 因此an 1 an 3 0 从而 an 是公差为3 首项为2的等差数列 故 an 的通项为an 3n 1 点评 已知 an 的前n项和sn 求an时应注意以下三点 1 应重视分类讨论法的应用 分n 1和n 2两种情况讨论 特别注意an sn sn 1中需n 2 2 由sn sn 1 an推得的an 当n 1时 a1也适合 an式 则需统一 合写 3 由sn sn 1 an推得的an 当n 1时 a1不适合 an式 则数列的通项公式应分段表示 分写 即an 利用sn与an的关系求通项是一个重要内容 应注意sn与an间关系的灵活运用 变式探究 3 1 2012 江门市一模 已知数列 an 的前n项和为sn 1 nn 则an 2 2012 衡阳八中月考 正项数列 an 满足a1 2 an 2 2 8sn 1 n 2 则 an 的通项公式为an 解析 1 n 1时 an sn sn 1 1 nn 1 n 1 n 1 1 n 2n 1 而a1 1满足上式 an 1 n 2n 1 2 an 2 2 8sn 1 n 2 所以 an 1 2 2 8sn 两式相减得 8an 4an 4an 1 整理得 an 1 an an 1 an an 是正项数列 an 1 an 4 an 是以4为公差 2为首项的等差数列 an 2 4 n 1 4n 2 答案 1 1 n 2n 1 2 4n 2 考点四 利用数列的单调性解题 例4 已知数列 an 的通项公式an n n 试问数列 an 有没有最大项 若有 求最大项和最大项的项数 若无 说明理由 解析 an 1 an 当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 ana11 数列 an 有最大项为第9 10项 点评 求数列 an 的最大项 最小项时 考虑数列的单调性 即通过对an的单调性进行讨论 变式探究 4 2012 浙江名校高考研究联盟联考 数列 an 前n项和为sn 则 a2 0 是 数列 sn 为递增数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 a2 0 不能保证 sn 是递增数列 如数列 4 n 的前n项和构成的 sn 不是递增数列 反之 若 sn 为递增数列 则有s2 s1 得a2 0 所以 a2 0 是 数列 sn 为递增数列 的必要不充分条件 故选b 答案 b 1 对数列概念的理解 1 数列是按一定 次序 排列的一列数 一个数列不仅与构成它的 数 有关 而且还与这些 数 的排列顺序有关 这有别于集合中的元素的无序性 因此 若组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的两个数列 要注意把数列中的数 项 和集合中的元素区分开来 数列中的数是有顺序的 而集合中的元素是没有顺序的 2 数列中的数可以重复出现 而集合中的元素不能重复出现 3 数列的项与项数是两个不同的概念 数列的项是指数列中某一确定的数 而项数是指数列的项对应的位置序号 4 数列是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应的函数解析式 4 若an 1 an f n 求an用累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 2 6 已知递推关系 求an用构造法 构造等差 等比数列 特别地 形如an kan 1 b an kan 1 bn k b为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后 再求an 形如an 的递推数列都可以用倒数法求通项 注意 1 用an sn sn 1求数列的通项公式时 要注意此等式成立的条件 当n 2时 an sn sn 1 当n 1时 a1 s1 2 一般地 当已知条件中含有an与sn的混合关系时 常需运用关系式an sn sn 1 先将已知条件转化为只含an或sn的关系式 然后再求解 3 并不是每一个数列都有通项公式 如果一个数列有