高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用课件 理 苏教版 .ppt

第5讲数列的综合应用 考点梳理 1 等比数列与等差数列比较表 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 2 解答数列应用题的步骤 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是sn与sn 1之间的递推关系 3 数列应用题常见模型 一条主线数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角形 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合的力度 解决此类题目 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 三种思想 1 数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质 多为单调性 2 数列与不等式结合时需注意放缩 3 数列与解析几何结合时要注意递推思想 助学 微博 1 若数列 an 为等比数列 则下面四个命题 考点自测 答案3 2 2012 南京一模 若数列 an 满足 lgan 1 1 lgan n n a1 a2 a3 10 则lg a4 a5 a6 的值为 由等比数列的定义 可知a4 a5 a6 a1q3 a2q3 a3q3 所以lg a4 a5 a6 lgq3 a1 a2 a3 lgq3 lg a1 a2 a3 4 故填4 答案4 4 2012 苏锡常镇四市调研 一 等差数列 an 中 已知a8 15 a9 13 则a12的取值范围是 答案 7 解析由题意知 an 35 n 1 d 对数列 an 中的任意两项ar as其和为ar as 35 35 r s 2 d 设at 35 t 1 d 则35 r s 2 d t 1 d 即35 t r s 1 d 因为r s t d n 所以35是d的整数倍 即d所有可能取值为1 3 9 27 81 243 和为364 答案364 5 2012 盐城第一学期摸底考试 设等差数列 an 满足 公差d n an n 且 an 中任意两项之和也是该数列中的一项 若a1 35 则d的所有可能取值之和为 例1 已知函数f x log2x logx2 0 x 1 数列 an 满足f 2an 2n n n 考向一数列与函数的综合应用 1 求数列 an 的通项公式 2 判断数列 an 的单调性 审题视点 1 将an看成一个未知数 解方程即可求出an 2 通过比较an和an 1的大小来判断数列 an 的单调性 方法总结 本题融数列 方程 函数单调性等知识为一体 结构巧妙 形式新颖 着重考查逻辑分析能力 1 设a为常数 求证 an 是等比数列 训练1 已知f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f an n n 是首项为4 公差为2的等差数列 例2 2012 广东卷 设数列 an 的前n项和为sn 满足2sn an 1 2n 1 1 n n 且a1 a2 5 a3成等差数列 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式 考向二数列与不等式的综合应用 2 解由题设条件可知 2sn an 1 2n 1 1 n 2时 2sn 1 an 2n 1 得2 sn sn 1 an 1 an 2n 1 2n 即an 1 3an 2n n 2 an 1 2n 1 3 an 2n an 2n 是以3为公比的等比数列 an 2n a1 2 3n 1 3n 即an 3n 2n n 1 又a1 1满足上式 an 3n 2n 方法总结 解决此类问题要抓住一个中心 函数 两个密切联系 一是数列和函数之间的密切联系 数列的通项公式是数列问题的核心 函数的解析式是研究函数问题的基础 二是方程 不等式与函数的联系 利用它们之间的对应关系进行灵活的处理 训练2 已知单调递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 所以sn 1 2 2 22 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 两式相减 得sn 2 22 23 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 要使sn n 2n 1 50 即2n 1 2 50 即2n 1 52 易知 当n 4时 2n 1 25 32 52 当n 5时 2n 1 26 64 52 故使sn n 2n 1 50成立的正整数n的最小值为5 例3 2011 湖南卷 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 考向三与等差 等比数列有关的应用性问题 方法总结 解等差 等比数列应用解题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为教学中的等差 等比问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差 等比数列知识求解 1 设n年内 本年度为第一年 的总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出an和bn的表达式 2 至少经过几年 旅游业的总收入才能超过总投入 考向四数列的综合应用 又s2n 1 a1 a2 a3 a4 a5 a2n a2n 1 a1 b1 b2 bn 2n2 2n 2 则由 s2n 1 10 c2n 1 得4n2 4n 16 4n 记f x 4x 4x2 4x 16 x 2 则g x f x 4xln4 8x 4 g x ln4 24x 8 0 x 2 g x 在 2 上单调递增 g x g 2 f 2 0 即f x 0 且f 1 0 仅存在唯一的n 3 使得 s2n 1 10 c2n 1成立 方法总结 数列试题形态多变 时常有新颖的试题入卷 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想 化归转化思想等数学思想以及特例分析法 一般递推法等 要提高将陌生问题转化 化归为熟知问题的能力 1 求数列 an 的通项公式an和数列 bn 的前n项和的tn 2 若对任意的n n 不等式 tn n 8 1 n恒成立 求实数 的取值范围 3 是否存在正整数m n 1 m n 使得t1 tm tn成等比数列 若存在 求出所有m n的值 若不存在 请说明理由 从近几年新课标高考试题可以看出 不同省市的高考对该内容要求的不尽相同 考生复习时注意把握 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题 关键是充分利用解析几何的有关性质 公式 建立数列的递推关系式 然后借助数列的知识加以解决 热点突破18数列与解析几何 三角交汇问题的求解策略 一 数列与解析几何的交汇 示例 2011 陕西卷 如图 从点p1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点q1 0 1 曲线在q1点处的切线与x轴交于点p2 再从p2作x轴的垂线交曲线于点q2 依次重复上述过程得到一系列点 p1 q1 p2 q2 pn qn 记pk点的坐标为 xk 0 k 1 2 n 1 试求xk与xk 1的关系 2 k n 2 求 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 审题与转化 第一步 求点qk 1的坐标及过点qk 1的切线方程 第二步 令切线方程y 0得出xk与xk 1的递推关系 规范解答 第三步 1 切点qk 1 xk 1 exk 1 切线方程为 y exk 1 exk 1 x xk 1 令y 0得 xk xk 1 1 2 k n 反思与回顾 第四步 解决此类题目仅靠单一知识点 无异于杯水车薪 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重要作用 二 数列与三角的交汇 示例 2011 安徽卷 在数1和100之间插入n个实数 使得这n 2个数构成递增的等比数列 将这n 2个数的乘积记作tn 再令an lgtn n 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn tanan tanan 1 求数列 bn 的前n项和sn 规范解答 第二步 1 t t1 tn 2 t2 tn 1 tn 2 t1 102 n 2 an lgtn n 2 n 1 2 由题意和 1 中计算结果 知bn tan n 2 tan n 3 n 1 反思与回顾 第三步 本题难度较大 考生很难想到求t及两角和正切公式的应用 但细心品味一下本题还是不错的 命题人真费了不少工夫 答案2n 1 高考经典题组训练 2 2011 陕西卷 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距10米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 解析将20位同学视为数轴上0 10 20