2017年湖北省襄阳五中高考数学一模试卷（理科）（含解析）

2017年湖北省襄阳五中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）1（5分）设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为A或B或CD2（5分）已知是虚数单位，、在复平面上对应的点分别为、，则A31B33CD3（5分）“”是“方程表示双曲线”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）下列命题中的假命题是AB，CD，5（5分）李冶，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注平方步为1亩，圆周率按3近似计算）A10步、50步B20步、60步C30步、70步D40步、80步6（5分）已知，均为锐角，且，则ABCD7（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABCD48（5分）已知向量，若，则的取值范围是ABCD9（5分）六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到、三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到学校，男生甲不到学校，则不同的安排方法共有A24B36C16D1810（5分）如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是ABCD11（5分）已知圆的半径为定长，点是平面内一定点（不与重合），是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可能是下列几种：椭圆，双曲线，抛物线，直线，点ABCD12（5分）设函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知实数，满足，则最小值为14（5分）若，则在的展开式中，的幂指数不是整数的项共有 项15（5分）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为16（5分）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）在中，是中点，已知（1）判断的形状；（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值18（12分）随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为，其范围为，分别有5个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵早高峰时段 ，从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望19（12分）如图，在中，为直角，沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥（）求证：平面；（）求三棱锥的体积；（）是棱的中点，过作平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于，两点，且的周长为（）求椭圆的方程；（）过点作与直线平行的直线，且直线与抛物线交于、两点，若、在轴上方，直线与直线相交于轴上一点，求直线的方程21（12分）设函数（1）若函数的图象与直线相切，求的值；（2）当时，求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线的参数方程是为参数），曲线的极坐标方程是（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值选修4-5：不等式选讲23设函数（）若，求实数的取值范围；（）求证：2017年湖北省襄阳五中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）1（5分）设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为A或B或CD【考点】图表达集合的关系及运算【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：集合【分析】由阴影部分表示的集合为，然后根据集合的运算即可【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为，由得，即，则，故选：【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图确定集合的关系是解决本题的关键2（5分）已知是虚数单位，、在复平面上对应的点分别为、，则A31B33CD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求出、在复平面上对应的点的坐标、，则答案可求【解答】解：，、在复平面上对应的点的坐标分别为、，则故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）“”是“方程表示双曲线”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】：简易逻辑【分析】根据双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：方程表示双曲线，则，则“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义是解决本题的关键4（5分）下列命题中的假命题是AB，CD，【考点】：对数值大小的比较【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】对于，即可判断出真假对于，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可判断出真假对于根据，即可判断出真假对于令，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：对于，因此是假命题对于，令，因此函数单调递减，因此是真命题对于，因此是真命题对于令，则，因此函数在上单调递增，因此是真命题故选：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）李冶，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注平方步为1亩，圆周率按3近似计算）A10步、50步B20步、60步C30步、70步D40步、80步【考点】：三角形中的几何计算【专题】12：应用题；34：方程思想；：转化法【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为，方田边长为40步从而建立关系求解即可【解答】解：由题意，设圆池直径为，方田边长为40步方田面积减去水池面积为13.75亩，解得：即圆池直径20步那么：方田边长为40步步步故选：【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立读懂题意是关键，属于基础题6（5分）已知，均为锐角，且，则ABCD【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；56：三角函数的求值【分析】利用，得到，化简计算即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了三角函数的化简，以及两角和与差的正弦公式和同角的三角函数的关系，属于基础题7（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABCD4【考点】：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥连接其体积故选：【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知向量，若，则的取值范围是ABCD【考点】：简单线性规划；：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；34：方程思想；：平面向量及应用【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得，再由向量模的计算公式可得，可以令，将，的关系在直角坐标系表示出来，分析可得表示区域中任意一点与原点的距离，进而可得的取值范围，又由，分析可得答案【解答】解：根据题意，向量，则，令，则，而，即，在直角坐标系表示如图，表示区域中任意一点与原点的距离，分析可得：，又由，故；故选：【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式9（5分）六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到、三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到学校，男生甲不到学校，则不同的安排方法共有A24B36C16D18【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；：排列组合【分析】根据题意，分4步进行分析：、2名女生在、学校个一人，、学校除男生甲之外选男生一人，、学校在剩余男生中选一人，、学校2名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，要求六名学生被安排到、三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到学校，男生甲不到学校，只能安排2名女生在、学校各一人，有种安排方法，学校除男生甲之外选男生一人，有种安排方法，学校在剩余男生中选一人，有种安排方法，学校选剩余的2名男生，有1种情况，则不同的安排方法有种安排方法；故选：【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分析题目中的限制条件，注意受到限制的元素的处理方法10（5分）如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是ABCD【考点】：球的体积和表面积【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：空间位置关系与距离【分析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，求出三棱锥外接球半径，由此能示出该球的表面积【解答】解：由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，四边形为直角梯形，由，及，得，外接球半径为，该球的表面积故选：【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用11（5分）已知圆的半径为定长，点是平面内一定点（不与重合），是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可能是下列几种：椭圆，双曲线，抛物线，直线，点ABCD【考点】：轨迹方程【专题】38：对应思想；：分类法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】对的位置进行讨论，利用中垂线的性质即可得出和的关系，根据圆锥曲线的定义得出结论【解答】解：线段的垂直平分线和直线相交于点，（1）若在圆外，则，即，此时点轨迹为双曲线；（2）若在圆内，则，此时点轨迹为椭圆；（3）若在圆上，则的中垂线经过圆心，过点轨迹为圆心，故选：【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于中档题12（5分）设函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是ABCD【考点】：全称量词和全称命题【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由题设恒成立等价于；构造函数，利用导数判断的单调性，求出的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出的取值范围【解答】解：由题设恒成立，等价于；设函数，则；（1）设，此时，当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故；而当时取得最大值2，并且，故式不恒成立；（2）设，注意到，故式不恒成立；（3）设，此时当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故；而当时，故若使式恒成立，则，解得故选：【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知实数，满足，则最小值为【考点】：简单线性规划【专题】31：数形结合；59：不等式的解法及应用【分析】确定不等式表示的平面区域，求出特殊点位置，的值，比较即可得到结论【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示设，则由，可得，此时由，可得，此时；当直线与相切时，可得，此时，不在可行域内，不满足题意最小值为故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14（5分）若，则在的展开式中，的幂指数不是整数的项共有15项【考点】67：定积分、微积分基本定理；：二项式定理【专题】35：转化思想；：转化法；53：导数的综合应用；：二项式定理【分析】根据定积分求得的值，利用二项式定理，求得其通项公式，分别代入，当，幂指数是整数，则的幂指数不是整数的项15项【解答】解：，则，则当，幂指数是整数，的幂指数不是整数的项共，故答案为：15【点评】本题考查定积分的运算，考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题15（5分）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为【考点】：条件概率与独立事件【专题】11：计算题【分析】由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果【解答】解：设为掷红骰子得的点数，为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：（A），（B），故答案为：【点评】本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析16（5分）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则2017【考点】：数列的求和【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】根据条件构造，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可【解答】解：设，则，当是正整数时，则为增函数，当时，且（1），当时，方程有唯一的实数根且，因此，故答案为：2017【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）在中，是中点，已知（1）判断的形状；（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值【考点】：三角形的形状判断【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形【分析】（1）设，则由，可得，中，由正弦定理得：，结合，可得，结合范围，即解得或，从而得解（2）当时，与的三边长是连续三个正整数矛盾，可得，在直角三角形中，设两直角边分别为，斜边为，由勾股定理得，由余弦定理或二倍角公式即可求得的值【解答】解：（1）设，则由，中，由正弦定理得：，即，同理得：，（2分），（4分）即，因为，即或 （6分）是等腰三角形或直角三角形（7分）（2）当时，与的三边长是连续三个正整数矛盾，是等腰三角形（8分）在直角三角形中，设两直角边分别为，斜边为，由 得，（10分）由余弦定理或二倍角公式得 或 （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为，其范围为，分别有5个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵早高峰时段 ，从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望【考点】：频率分布直方图；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：概率与统计【分析】（）由频率分布直方图能估算交通指数的中位数和平均数（）设事件为“1条路段严重拥堵”，则（A），由此能求出3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率（）由题意，求出所用时间的分布列，由此能求出此人上班路上所用时间的数学期望【解答】解：（）由直方图知：，时，频率为，时，频率为0.24，交通指数的中位数为（2分）交通指数的平均数为：（4分）（）设事件为“1条路段严重拥堵”，则（A），则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为（8分）（）由题意，所用时间的分布列如下表：303545600.10.440.360.1则，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题19（12分）如图，在中，为直角，沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥（）求证：平面；（）求三棱锥的体积；（）是棱的中点，过作平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面垂直【分析】（）由，得，同时，又，可得平面，又，可证得平面；（）由平面，又平面，得，又，可得，又，可证得平面，利用等积法即可求出三棱锥的体积；（）分别取，的中点，并连接，由平面平面，得平面与平面的交线平行于，由是中点，可得平面与平面的交线是的中位线，同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面，即，由（）可知，平面，可得，又，可得，即可得到四边形是直角梯形，在中，求出，进一步求出，则的值可求【解答】（）证明：，同时，又，平面又，平面；（）解：由（）可知，平面，又平面，又，又，平面；（）解：分别取，的中点，并连接，平面平面，平面与平面的交线平行于，是中点，平面与平面的交线是的中位线，同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面，即由（）可知，平面，又，四边形是直角梯形在中，【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面截四棱锥所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于，两点，且的周长为（）求椭圆的方程；（）过点作与直线平行的直线，且直线与抛物线交于、两点，若、在轴上方，直线与直线相交于轴上一点，求直线的方程【考点】：椭圆的性质【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求椭圆的方程即是求和，根据的周长为，求出，在根据焦点坐标求出，那么就可以求出（）设出四点的坐标，根据三角形的相似比得它们纵坐标的关系，根据直线与椭圆方程得到式，再根据直线与抛物线方程得到式，最终得到方程【解答】解：（）依题意， （2分）所以， （3分）故椭圆的方程为 （4分）（）设，与轴的交点记为点直线的方程为，直线的方程为：依题意得则，可得，令，（5分）由 消去，得，（6分）则，把代入整理得：（8分）由 消去，得，（9分）则，把代入，整理得：（10分）由消去，得，解得或 （11分）故直线的方程为：或 或 （12分）故答案为：直线的方程为：或 或【点评】本题考查了椭圆的基本性质、直线方程、直线与椭圆的交点、直线与抛物线交点、平行直线的性质，对学生的综合能力有很高的要求21（12分）设函数（1）若函数的图象与直线相切，求的值；（2）当时，求证：【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】34：方程思想；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】（1），设切点为，则切线为，又切线为，可得，消，再利用函数的单调性即可得出，（2）令，所以，可得其单调性（1），当时，即时，（1），即，故时，在上单调递增，进而证明结论【解答】（1）解：，设切点为，则切线为，即，又切线为，所以，消，得，设，