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2 1 1指数与指数幂的运算 一 知识回顾 在初中 我们研究了正整数指数幂 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积 即 正整数指数幂的运算法则有五条 1 am an am n 2 am an am n 3 am n amn 4 ab n an bn 5 另外 我们规定 问题提出 问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的 未来20年我国发展前景分析 判断 未来20年 我国gdp 国内生产总值 年平均增长率可望达到7 3 那么在2010年 我国的gdp可望为2000年的多少倍 考古学家按照这样的规律来推测生物所处的年代 当生物死亡后 它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减 大约每经过5730年衰减为原来的一半 这个时间称为 半衰期 根据此规律 人们获得了生物体内碳14含量 与死亡年数t之间的关系 5730 6000 10000 100000 根式 知识探究 一 方根的概念 问题1 的平方根是什么 任何一个实数都有平方根吗 一个数的平方根有几个 问题3 一般地 实数a的平方根 立方根是什么概念 问题2 27的立方根是什么 任何一个实数都有立方根吗 一个数的立方根有几个 问题4 如果x4 a x5 a x6 a 参照上面的说法 这里的x分别叫什么名称 问题5 推广到一般情形 a的n次方根是一个什么概念 试给出其定义 一般地 如果xn a 那么x叫a的n次方根 其中n 1且n n 问题3 一般地 当n为奇数时 实数a的n次方根存在吗 有几个 问题1 8的立方根 16的4次方根 32的5次方根 32的5次方根 0的7次方根 a6的立方根分别是什么数 怎样表示 问题2 设a为实常数 则关于x的方程x3 a x5 a分别有解吗 有几个解 知识探究 二 方根性质和根式概念 问题4 设a为实常数 则关于x的方程x4 a x6 a分别有解吗 有几个解 问题5 一般地 当n为偶数时 实数a的n次方根存在吗 有几个 问题6 我们把式子叫做根式 其中n叫做根指数 a叫做被开方数 那么 a的n次方根用根式怎么分类表示 让我们认识一下这个式子 探究 表示an的n次方根 等式一定成立吗 如果不一定成立 那么等于什么 例1求下列各式的值 解 三 分数指数幂 探究 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 解 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用 即对于任意有理数r s 均有下面的运算性质 例2用分数指数幂表示下列各式 其中a 0 四 无理指数幂 探究 在前面的学习中 我们已经把指数由正整数推广到了有理数 那么 能不能继续推广到实数范围呢 a 0 p是一个无理数时 ap的值就可以用两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而得到 这个近似结果的极限值就等于ap 故ap是一个确定的实数 而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也
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