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第三章惯性导航原理 主要 捷联式 1 3 1常用坐标系 惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性坐标系与非惯性坐标系两类 惯性导航区别于其它类型的导航方案 如无线电导航 天文导航等 的根本不同之处就在于其导航原理是建立在牛顿力学定律 又称惯性定律 的基础上的 惯性导航 也因此而得名 而牛顿力学定律是在惯性空间内成立的 这就有必要首先引入惯性坐标系 作为讨论惯导基本原理的坐标基准 对飞行器进行导航的主要目的就是要确定其导航参数 飞行器的导航参数就是通过各个坐标系之间的关系来确定的 这些坐标系是区别于惯性坐标系 并根据导航的需要来选取的 将它们统称为非惯性坐标系 如地球坐标系 地理坐标系 导航坐标系 平台坐标系及机体坐标系等 2 在惯性导航中常用的坐标系有1 地心惯性坐标系 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运动 地心惯性坐标系的原点选在地球的中心 它不参与地球的自转 惯性坐标系是惯性敏感元件测量的基准 在导航计算时无需在这个坐标系中分解任何向量 因此惯性坐标系的坐标轴的定向无关紧要 但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的方向上 而x y轴则在地球的赤道平面内 并指向空间的两颗恒星 3 2 地球坐标系 地球坐标系是固连在地球上的坐标系 它相对惯性坐标系以地球自转角速率旋转 地球坐标系的原点在地球中心 轴与轴重合 在赤道平面内 x轴指向格林威治经线 y轴指向东经90度方向 4 3 地理坐标系 地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器所在位置的东向 北向和垂线方向的坐标系 地理坐标系的原点选在飞行器重心处 x指向东 y指向北 z沿垂线方向指向天 东北天 5 4 导航坐标系 导航坐标系是在导航时根据导航系统工作的需要而选取的作为导航基准的坐标系 指北方位系统 导航坐标系与地理坐标系重合 自由方位系统或游动自由方位系统 轴与轴重合 而与及与之间相差一个自由方位角或游动方位角 6 5 平台坐标系 平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标系时所获得的坐标系 平台坐标系的坐标原点位于飞行器的重心处 对于平台惯导系统 平台坐标系是通过平台台体来实现的 对于捷联惯导系统 平台坐标系是通过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现的 7 6 机体坐标系 机体坐标系是固连在机体上的坐标系 机体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处 x沿机体横轴指向右 y沿机体纵轴指向前 z垂直于oxy 并沿飞行器的竖轴指向上 8 3 2四元数理论 9 四元数表示 四元数 描述刚体角运动的数学工具 quaternions 针对捷联惯导系统 可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足 四元数的表示 由一个实单位和三个虚数单位i j k组成的数 或者省略1 写成 i j k服从如下运算公式 10 四元数组成部分 i j k服从如下运算公式 称作标量部分 称作矢量部分 四元数的另一种表示法 P泛指矢量部分 提示 四元数与刚体转动的关系 11 四元数基本性质加减法 1 四元数加减法 或简单表示为 12 四元数基本性质乘法 2 四元数乘法 或简单表示为 关于相乘符号 关于交换律和结合律 13 四元数基本性质共轭范数 3 共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数 和 互为共轭 可证明 4 四元数的范数 定义 则称为规范化四元数 14 四元数基本性质逆除法 5 逆四元数 6 四元数的除法 若 则 若 则 15 四元数表示转动约定 一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转 转角为 转轴n与参考系各轴间的方向余弦值为cos cos cos 则表示该旋转的四元数可以写为 为特征四元数 范数为1 四元数既表示了转轴方向 又表示了转角大小 转动四元数 16 四元数表示转动矢量旋转 如果矢量R相对固定坐标系旋转 旋转四元数为q 转动后的矢量为R 则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现 含义 矢量R相对固定坐标系产生旋转 转角和转轴由q决定 17 四元数表示转动坐标系旋转 如果坐标系OXYZ发生q旋转 得到新坐标系OX Y Z 一个相对原始坐标系OXYZ不发生旋转变换的矢量V 矢量V在新坐标系上OX Y Z 的投影为 则不变矢量V在两个坐标系上的投影之间存在如下关系 式中 分别称为矢量V在坐标系OXYZ和OX Y Z 上的映像 18 四元数映象图解 19 四元数表示转动方向余弦 将该投影变换式展开 也就是把 代入上述投影变换式 进行四元数乘法运算 整理运算结果可得 20 四元数表示转动方向余弦 其中方向余弦矩阵 21 四元数表示转动旋转合成 多次旋转的合成 对于一个坐标系经过多次旋转后 新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果 相应地有合成转动四元数 假定q1 q2分别是第一次转动 第二次转动的四元数 q是合成转动的四元数 那么有如下关系成立 上式中q1和q2的转轴方向必须以映象的形式给出 如果q1和q2的转轴方向都以原始坐标系的分量表示 则有 22 求方向余弦非映象方式1 用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表 坐标系OX Y Z 相对OXYZ三次旋转 以欧拉角 的形式给出 第一转 绕Z轴转 角 瞬时转轴n和k轴重合 则转动四元数为 23 第二转 绕OX1轴转 角 瞬时转轴n的方向表示式为 其转动四元数为 求方向余弦非映象方式2 24 求方向余弦非映象方式合成 由于q1和q2的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来表示 则合成转动四元数q的计算采用 25 求方向余弦映象方式1 以瞬时转轴映象形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数 第一次转时 映象形式的q1和非映象形式的q1是一致的 26 求方向余弦映象方式2 第二转绕OX1轴转 角瞬时转轴n是由OX经过第一转转换来的OX轴对应单位矢量i 所以定义n的映象为i则q2的映象表示式为 27 求方向余弦映象方式3 第三转 绕OZ 轴转动 角 瞬时转轴n是由OZ经过第一转和第二转转换来的OZ 轴对应单位矢量k 所以定义n的映象为k则q3的映象表示式为 28 求方向余弦映象合成 由于q1 q2和q3都是映象形式 所以三次转动的合成转动四元数q为 据此可算出对应的方向余弦表 29 四元数补充两种转动公式 坐标系旋转时 不变矢量V在两个坐标系上的投影之间存在如下关系 在一些资料中 四元数的转动公式也经常写成如下的形式 这个公式的意义是说 在一个超复数空间中 或者在一个固定坐标系中 矢量VE按着四元数q所表示的方向和大小转动了一个角度 得到一个新的矢量VE 30 四元数补充计算上的优点 四元数法能得到迅速发展 是由于飞行器控制与导航的发展 要求更合理地描述刚体空间运动 以及便于计算机的应用 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时 要积分矩阵微分方程式 式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵 为动坐标系相对定坐标系旋转角速度 的反对称矩阵 包含9个一阶微分方程式 计算量比较大 31 四元数补充计算上的优点 如果采用四元数法 则是要求解四元数方程式 q为动坐标系的转动四元数 为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度 也表示为四元数 按四元数乘积展开 只要解四个一阶微分方程式组即可 32 3 3视加速度和比力 33 根据质心运动定理和相对运动学原理 飞行体质心运动的微分方程 在惯性坐标系下 为 式中 飞行体的质量 推力 空气阻力 惯性空间飞行时 导弹质心加速度 由推力产生的加速度 由阻力引起的阻力加速度 34 由上式可得出 飞行体质心运动的微分方程 在弹体坐标系下 为 或 式中 是动点的相对加速度 将 代入上式得 35 由上式可知 测得的 是推力加速度 和阻力加速度 的矢量和 称为视加速度 在实际的测试中由加速度传感器得到的值是 在敏感轴上的分量 实际的惯性坐标系下的加速度 可通过上式变换得到 在弹体坐标系上动点的力为 称为比力 加速度计实际是通过比力来测量加速度的 36 由惯性测量组合测得的视加速度是相对惯性空间的加速度 在以上的分析计算中 假设了地球的曲率半径很大 自转速度为零 在实际的导航中 飞行体是在曲率半径不为零且具有引力场的地球表面上 因此 需要对惯性空间加速度相对地球加速度之差 即有害加速度进行补偿 即飞行体速度和地球自转角速度引起的哥氏加速度 飞行体沿地球表面飞行而产生的向心加速度 37 3 4捷联惯导系统的算法实现 38 捷联惯导基本算法与误差 捷联惯导系统算法概述 算法 从惯性仪表输出到导航与控制信息 捷联惯导算法的基本内容 一 系统初始化 Initialization 1 给定飞行器初始位置 速度等2 数学平台的初始对准3 惯性仪表的校准二 惯性仪表误差补偿 Compensation 三 姿态矩阵的计算四 导航计算五 导航控制信息的提取 39 姿态计算欧拉角微分方程1 姿态矩阵的计算 假设数学坐标系模拟地理坐标系 飞行器姿态的描述 航向角 俯仰角 滚动角 一 欧拉微分方程 从地理坐标系到载体坐标系的旋转顺序 方向余弦矩阵 40 姿态计算欧拉角微分方程2 飞行器相对地理坐标系的角速度 41 姿态计算欧拉角微分方程3 求解欧拉角速率得 注意事项 当 90度时 方程出现奇点 42 姿态计算矩阵方程精确解1 二 方向余弦矩阵微分方程及其解 其中 由于陀螺仪直接测得的是载体相对惯性空间的角速度 所以 导航计算可以得到 有 因此 得 43 姿态计算矩阵方程精确解2 的精确解 毕卡逼近 其中 方向不变时的精确解 九个微分方程求解 计算量大 44 姿态计算四元数精确解1 三 四元数微分方程式及其解 由第一章 四元数微分方程式 对的处理类似上一节 精确解 其中 45 姿态计算四元数精确解2 其中 46 姿态计算姿态航向角计算1 四 姿态和航向角的计算 根据载体和地理坐标系之间的方向余弦矩阵可确定姿态 航向角 姿态 航向角真值的判断 47 姿态计算姿态航向角计算2 如利用四元数微分方程求解 则先利用四元数求解结果计算方向余弦矩阵的元素 1 58 48 姿态实时计算概述 姿态矩阵的实时计算 因假定 数学平台 跟踪地理坐标系 因此 所以可得相应的姿态矩阵微分方程 6 12 或四元数微分方程 注意事项 1 上述两个方程中的角速度表达式不一样2 方程第二项较小 计算时速度可以低一些 49 增量算法矩阵方程精确解 一 角增量算法 AngularIncrementAlgorithm 角增量 陀螺仪数字脉冲输出 每个脉冲代表一个角增量 一个采样周期内 陀螺输出脉冲数对应的角增量为 1 矩阵微分方程 MatrixDifferentialEquation 计算 根据矩阵微分方程的精确解 6 20 有 50 增量算法矩阵方程CS参数 展开合并上式 得 其中 51 增量算法矩阵方程1阶 将前式简写为 或离散形式 C按Cn Sn取不同的近似值 形成相应的一阶 四阶算法 一阶算法 令 可将上述算法解写成矩阵元素的形式 52 增量算法矩阵方程1阶 一阶增量算法 53 增量算法矩阵方程2 4阶 当Cn Sn取n 2 3 4时 二阶增量算法 三阶增量算法 四阶增量算法 54 增量算法四元数 2 四元数微分方程的计算 其中 I为单位四元数 如 6 24 所示 写成迭代形式 55 增量算法四元数 设 一阶算法 56 增量算法四元数 或展开为元素形式 57 增量算法四元数 同理 可得二阶算法 三阶算法 四阶算法 58 数值积分1阶 用一阶 四阶龙格 库塔积分矩阵和四元数微分方程 1 一阶龙格 库塔法 Runge Kutta 一个矩阵微分方程 当初始条件已知 其一阶龙格 库塔的解为 方程的解为初始值加上以初始点斜率为斜率的一个增量斜率K的准确度不同 解的精确度也不同 59 数值积分1阶矩阵 1 姿态矩阵微分方程 简化为 其一阶龙格 库塔解 展开为元素形式 与一阶增量算法一致 60 数值积分1阶四元数 2 四元数微分方程 或 一阶龙格 库塔解 61 数值积分2阶矩阵 2 二阶龙格 库塔法 对一阶算法适当改进 使平均斜率更准确一些 二阶龙格 库塔算法的解 1 矩阵微分方程 62 数值积分2阶矩阵 二阶龙格 库塔解 设 则 63 数值积分2阶矩阵 64 数值积分2阶四元数 2 四元数微分方程 65 数值积分2阶四元数 66 数值积分4阶矩阵 3 四阶龙格 库塔法 则解 1 矩阵微分方程 则解 67 数值积分4阶四元数 2 四元数微分方程 则解 68 数值积分4阶四元数 69