高三数学一轮复习 3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 .ppt

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式 知识梳理 1 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 2 商数关系 sin2 cos2 1 2 三角函数的诱导公式 sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan 3 特殊角的三角函数值 0 1 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 sin2 cos2 1 同角三角函数的基本关系式中角 可以是任意角 六组诱导公式中的角 可以是任意角 诱导公式的口诀 奇变偶不变 符号看象限 中的 符号 与 的大小无关 若sin k k z 则sin 其中正确的是 a b c d 解析 选b 错误 sin2 cos2 1中的角不是同角 错误 在tan 中 k k z 错误 对于正 余弦的诱导公式角 可以为任意角 而对于正切的诱导公式 k k z 正确 诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角 都看成锐角时原函数值的符号 因而与 的大小无关 错误 当k 2n n z 时 sin k sin 2n sin sin 则sin 当k 2n 1 n z 时 sin k sin 2n 1 sin 2n sin sin 2 cos300 解析 选c cos300 cos 360 60 cos60 3 若tan 2 则的值为 a 0b c 1d 解析 选b 4 已知cos 且 是第四象限角 则sin 2 解析 选a 由cos 得 cos 而 为第四象限角 所以sin 2 sin 5 2014 台州模拟 化简 解析 答案 1 6 已知cos 则sin 解析 sin cos cos 答案 考点1利用诱导公式求值 典例1 1 2014 济宁模拟 sin cos tan cos sin 2 已知cos 则sin 解题视点 1 利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解 2 寻求 与 的联系 再利用诱导公式求解 规范解答 1 原式 sin cos tan4 cos sin sin 4 cos tan4 cos 6 sin 6 sin cos tan0 cos sin sin 0 cos sin sin cos 1 答案 1 2 因为 所以sin sin sin cos 答案 互动探究 在本例 2 的条件下 求 解析 规律方法 1 给角求值的原则和步骤 1 原则 负化正 大化小 化到锐角为终了 2 步骤 利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0 之间角的三角函数步骤 如下图 2 给值求值的原则寻求所求角与已知角之间的联系 通过相加或相减建立联系 若出现的倍数 则通过诱导公式建立两者之间的联系 然后求解 常见的互余与互补关系 1 常见的互余关系有 与与与 等 2 常见的互补关系有 与 与 等 遇到此类问题 不妨考虑两个角的和 要善于利用角的变换的思想方法解决问题 变式训练 sin 1200 cos1290 cos 1020 sin 1050 tan945 解析 原式 sin1200 cos1290 cos1020 sin1050 tan945 sin120 cos210 cos300 sin330 tan225 sin60 cos30 cos60 sin30 tan45 答案 2 加固训练 1 等于 a 1b c 0d 1 解析 选c 原式 2 已知则等于 解析 选d 考点2利用诱导公式化简 证明 典例2 1 已知a k z 则a的值构成的集合是 a 1 1 2 2 b 1 1 c 2 2 d 1 1 0 2 2 2 2014 绍兴模拟 解题视点 1 根据k的奇偶性分类讨论求解 2 利用诱导公式化简约分 规范解答 1 选c 当k为偶数时 k为奇数时 2 原式 答案 tan 规律方法 1 利用诱导公式化简三角函数的原则和要求 1 原则 遵循诱导公式先行的原则 即先用诱导公式化简变形 达到角的统一 再进行三角函数名称转化 以保证三角函数名称最少 2 要求 化简过程是恒等变形 结果要求项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简单 能求值的要求出值 2 证明三角恒等式的主要思路 1 由繁到简法 由较繁的一边向简单一边化简 2 左右归一法 使两端化异为同 把左右式都化为第三个式子 3 转化化归法 先将要证明的结论恒等变形 再证明 提醒 由终边相同的角的关系可知 在计算含有2 的整数倍的三角函数式中可直接将2 的整数倍去掉后再进行运算 如cos 5 cos cos 变式训练 证明 证明 左边 tan 右边 所以原式成立 加固训练 1 解析 原式答案 1 2 解析 原式 sin sin 0 答案 0 考点3同角三角函数关系式的应用 考情 同角三角函数的基本关系式的应用很广泛 也比较灵活 在高考中以选择题 填空题的形式出现 考查求值 化简 1的代换等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 宁波模拟 记cos 80 k 那么tan100 等于 2 2014 银川模拟 若tan 则 sin2 2sin cos 解题视点 1 注意80 角与100 角互补 再利用同角关系求解 2 将所求表达式看成关于sin 与cos 的齐次分式 利用商数关系转化成关于tan 的表达式求解 规范解答 1 选b 因为cos 80 cos80 k 所以sin80 所以tan100 2 答案 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2013 大纲版全国卷 已知 是第二象限角 则cos 解析 选a 因为sin2 cos2 1 所以cos2 1 sin2 则cos 又 是第二象限角 所以cos 2 2014 安庆模拟 已知sin 3 2sin 则sin cos 等于 解析 选a 因为sin 3 sin 2sin 所以sin 2cos 所以tan 2 所以sin cos 3 2014 温州模拟 已知sin cos 则sin3 cos3 解析 由sin cos 得1 2sin cos sin cos 又sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 答案 加固训练 1 2014 长沙模拟 解析 选d 2 求证 证明 右边 左边 所以原等式成立 3 是否存在 0 使等式sin 3 cos cos cos 同时成立 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 解析 假设存在 使得等式成立 即有由诱导公式可得 2 2得sin2 3cos2 2 解得cos2 又因为 所以 或 将 代入 得cos 又 0 所以 代入 可知符合 将 代入 得cos 又 0 所以 代入 可知不符合 综上可知 存在 满足条件 巧思妙解3 巧用平方关系求值 典例 2014 汉中模拟 已知 是三角形的内角 且sin cos 则tan 解析 常规解法 由消去cos 整理得 25sin2 5sin 12 0 解得sin 或sin 因为 是三角形的内角 所以sin 又由sin cos 得 cos 所以tan 答案 巧妙解法 因为sin cos 所以 sin cos 2 1 2sin cos 即2sin cos 所以 sin cos 2 1 2sin cos 又2sin cos 0 0 所以sin 0 cos 0 即sin cos 0 故sin cos 由得所以tan 答案 解法分析 小试牛刀 已