2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）（含解析）

2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知全集，2，3，4，集合，3，集合，则为A，4，B，3，C，2，D，3，4，2（5分）已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是A，B，C，且，D，3（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是ABCD4（5分）已知实数，满足，设，则的最小值为ABC0D25（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是ABCD6（5分）已知函数，则函数的大致图象是ABCD7（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD8（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为A4B8C16D329（5分）已知在中，是边上的点，且，则的值为ABCD10（5分）设为两个非零向量，的夹角，若对任意实数，则下列说法正确的是A若确定，则唯一确定B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D若确定，则唯一确定11（5分）已知球与棱长为4的正方体的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是A，B，C，D，12（5分）已知函数，下列说法中错误的是A的最大值为2B在内所有零点之和为0C的任何一个极大值都大于1D在内所有极值点之和小于55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若复数为纯虚数，且为虚数单位），则 14（5分）已知过点，的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为 15（5分）若当时，函数取得最小值，则 16（5分）设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知等差数列中，数列中，（）分别求数列，的通项公式；（）定义，是的整数部分，是的小数部分，且，记数列满足，求数列的前项和18（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点（）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数10 20 30 40 5060 70 80 愿意整体搬迁人数 8 1725 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望参考公式及数据：，19（12分）如图所示，三棱柱中，已知侧面，（1）求证：平面；（）是棱上的一点，若二面角的正弦值为，求的长20（12分）已知椭圆的离心率为，是它的一个顶点，过点作圆的切线，为切点，且（）求椭圆及圆的方程；（）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为，与圆交于，两点，求面积的最大值21（12分）已知函数，其中（）设，讨论的单调性；（）若函数在内存在零点，求的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22将圆上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的坐标方程为：，且直线在直角坐标系中与，轴分别交于，两点（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）问在曲线上是否存在点，使得的面积，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由选修4-5：不等式选讲23（10分）设函数，（）若，求不等式的解集；（）若对任意满足的实数，都有成立，求证：2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知全集，2，3，4，集合，3，集合，则为A，4，B，3，C，2，D，3，4，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】：集合【分析】根据全集及求出的补集，找出补集与的并集即可【解答】解：全集，2，3，4，集合，3，4，故选：【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是A，B，C，且，D，【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】49：综合法；：集合；：简易逻辑【分析】非空集合，则命题“”是假命题，反之也成立即可判断出关系【解答】解：非空集合，则命题“”是假命题，反之也成立非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是，故选：【点评】本题考查了集合与元素之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是ABCD【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，从而计算得解【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，由于故选：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4（5分）已知实数，满足，设，则的最小值为ABC0D2【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题5（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是ABCD【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：概率与统计【分析】用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，田忌获胜的概率故选：【点评】通过历史故事的重读，考查概率知识的运用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比6（5分）已知函数，则函数的大致图象是ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】分析函数的连续性和凸凹性，结合函数的图象与函数的图象关于直线对称；可得答案【解答】解：函数在处不连续，且在，上为凹函数，在上为凸函数；函数的图象与函数的图象关于直线对称；故函数的图象在处不连续，且在上为凸函数，在，上为凹函数；故选：【点评】本题考查的知识点是函数的凸凹性，函数的连续性，函数的图象，难度中档7（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：故选：【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力8（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为A4B8C16D32【考点】：抛物线的性质【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标，进而求得的面积【解答】解：抛物线的焦点为，准线为设，过点向准线作垂线，则，又由得，即，解得的面积为故选：【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；9（5分）已知在中，是边上的点，且，则的值为ABCD【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果【解答】解：在中，是边上的点，且，则：在中，利用余弦定理：，由于，则：，在中，利用正弦定理：，解得：故选：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用10（5分）设为两个非零向量，的夹角，若对任意实数，则下列说法正确的是A若确定，则唯一确定B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D若确定，则唯一确定【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】38：对应思想；：定义法；：平面向量及应用【分析】设，根据恒成立求出取何值时二次函数取得最小值1，由此得出与的关系【解答】解：令，且恒成立当且仅当时，二次函数取得最小值1，化为：；确定时，唯一确定故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算性质、二次函数的性质应用问题，是中档题11（5分）已知球与棱长为4的正方体的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是A，B，C，D，【考点】：球内接多面体【专题】35：转化思想；：转化法；：球【分析】线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得结论【解答】解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为，其半径为，正方体的外接球为，则三角形的外接圆是正方体的外接球为的一个小圆，其半径点在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点在三角形的外接圆上运动，线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得 线段的取值范围是，故选：【点评】本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定线段长度的最值是正方体的外接球的半径加减正方体的各棱都相切的球的半径是关键属于中档题12（5分）已知函数，下列说法中错误的是A的最大值为2B在内所有零点之和为0C的任何一个极大值都大于1D在内所有极值点之和小于55【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】35：转化思想；：转化法；52：导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，得到函数在，递增，在，递减，求出函数的极大值，求出函数的极值点判断即可【解答】解：是偶函数，是一个极大值，故，显然成立，对于，下面考虑的情况，考虑，的图象交点可知，在每个区间，上，有2个解，故当，时，递增，当，时，递减，而，故的极大值是，故正确，在内有10个极值点，其中，故，故错误，故选：【点评】本题考查了函数的极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若复数为纯虚数，且为虚数单位），则【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；：数系的扩充和复数【分析】设，结合求得，则可求【解答】解：设，则，得，即，则故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题14（5分）已知过点，的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为，将点，代入双曲线的方程可得的值，将的值代入双曲线方程即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为，设其方程为，又由双曲线经过点，则有，解可得；则双曲线的方程为；故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程15（5分）若当时，函数取得最小值，则【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】11：计算题；33：函数思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】利用辅助角公式化积，求出函数取得最小值时的值，再由诱导公式得答案【解答】解：，当时，有最小值，此时，故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了辅助角公式的应用，是基础题16（5分）设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值【考点】63：导数的运算【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由已知可得恒成立，即，且，进而利用基本不等式可得的最大值【解答】解：，对任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故，且，令，则，当且仅当，即时取等号，故的最大值为故答案为：【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知等差数列中，数列中，（）分别求数列，的通项公式；（）定义，是的整数部分，是的小数部分，且，记数列满足，求数列的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列【分析】设等差数列的公差为，可得，联立解出即可得出数列中，化为：利用等比数列的通项公式即可得出时，可得，利用错位相减法即可得出【解答】解：设等差数列的公差为，联立解得，数列中，化为：数列为等比数列，公比为2，首项为，化为：时，相减可得：，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点（）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数10 20 30 40 5060 70 80 愿意整体搬迁人数 8 1725 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望参考公式及数据：，【考点】：线性回归方程；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（）求出，从而，由此能求出变量关于变量的线性回归方程，进而能预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数（）由题意得的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【解答】解：（）由已知有，变量关于变量的线性回归方程为，当时，（）由题意得的可能取值有1，2，3，4，的分布列为： 1 2 3 4 【点评】本题考查线性回归方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查回归直线方程、离散型随机事件的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）如图所示，三棱柱中，已知侧面，（1）求证：平面；（）是棱上的一点，若二面角的正弦值为，求的长【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间向量及应用【分析】（）证明，在中，由余弦定理求解，然后证明，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面（）通过，两两垂直以为原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出的方程，求解即可【解答】解：（）证明：因为平面，平面，所以，（1分）在中，由余弦定理得：，所以，（3分）故，所以，（5分）又，平面（6分）（）由（）可知，两两垂直以为原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系则，则，0，1，0，0，0，（7分），令，设平面的一个法向量为，令，则，平面，是平面的一个法向量，两边平方并化简得，所以或或【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力20（12分）已知椭圆的离心率为，是它的一个顶点，过点作圆的切线，为切点，且（）求椭圆及圆的方程；（）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为，与圆交于，两点，求面积的最大值【考点】：椭圆的性质【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据椭圆的离心率求得和，即可求得椭圆的方程，利用勾股定理即可求得圆的半径，求得圆的方程；（）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得，利用点到直线的距离公式及勾股定理即可求得，则面积，利用基本不等式求得面积的最大值【解答】解：（）由椭圆的焦点在轴上，则，则，椭圆的标准方程：；由已知，则圆的方程：；（）设直线的斜率存在，直线的方程：，则，整理得：，则，由，则，则，直线的方程，即，则，则面积，当且仅当，即时取等号，面积的最大值【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知函数，其中（）设，讨论的单调性；（）若函数在内存在零点，求的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定的范围即可【解答】解：（）函数的定义域是，故，则，若，则，在递减，若，则令，解得：，当时，则，故在上恒有，即在递减；时，因而在上，在，上，故在递减，在，递增；（），设，则，若，由可知，另可证当时，故对任意都成立，故在上无零点，因此，；当时，考查函数，由于，故在上必存在零点，设在的第一个零点是，则当时，故在递减，又，故时，从而在递减，故在上恒有，即，注意到，故，令，则，由零点存在定理