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第七节正弦定理和余弦定理 1 正弦定理和余弦定理 b2 c2 2bc cosa c2 a2 2ca cosb 2rsina 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 1 在 abc中 a b 是 sina sinb 的什么条件 a b 是 cosa cosb 的什么条件 2 如何利用余弦定理来判定三角形中角a为锐角 直角 钝角 提示 应判断b2 c2 a2与0的关系 当b2 c2 a2 0时 a为锐角 当b2 c2 a2 0时 a为直角 当b2 c2 a2 0时 a为钝角 解析 在 abc中 易知b 30 由余弦定理b2 a2 c2 2accos30 4 b 2 答案 a 答案 a 解析 acosa bsinb sinacosa sinbsinb 即sinacosa sin2b 0 sinacosa 1 cos2b 0 sinacosa cos2b 1 答案 d 4 2011 课标全国卷 abc中 b 120 ac 7 ab 5 则 abc的面积为 利用正弦 余弦定理解三角形 思路点拨 1 利用正弦定理 化去角b的三角函数 再化简求值 2 由条件结构特征 联想到余弦定理 求cosb 进而求出角b 1 运用正弦定理和余弦定理求解三角形时 要分清条件和目标 若已知两边与夹角 则用余弦定理 若已知两角和一边 则用正弦定理 2 在已知三角形两边及其中一边的对角 求该三角形的其它边角的问题时 首先必须判断是否有解 如果有解 是一解还是两解 注意 大边对大角 在判定中的应用 如图3 7 1所示 在 abc中 已知b 45 d是bc边上的一点 ad 10 ac 14 dc 6 求ab的长 2012 广州模拟 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 思路点拨 利用正余弦定理 将条件统一为角的关系 然后求角 进而判定 abc的形状 判定三角形的形状 1 1 本题易忽视角a b c的范围 导致推理求值缺乏严谨性 2 分别以sinb sinc sinb sinc作为整体处理 优化解题过程 2 判定三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思考 化成纯粹的边或纯粹的角之间的关系再判定 但应注意无论哪种方法 在化简的过程中 不要随意约掉公因式 否则会出现漏解的情形 与三角形面积有关的问题 从近两年的高考试题来看 正弦定理 余弦定理是高考的热点 主要考查利用正弦定理 余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题 常与三角函数交汇命题 多以解答题的形式出现 属解答题中的低档题 求解这类问题 要注意三角形中隐含条件的
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