2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则A，B，C，D，2（5分）双曲线的渐近线方程为ABCD3（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：则该几何体的体积（单位：是ABCD4（5分）已知实数，满足条件，那么的最大值为ABC1D25（5分）函数，则A是非奇非偶函数B奇偶性与，有关C奇偶性与有关D以上均不对6（5分）等差数列的公差为，前项的和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是ABCD7（5分）已知函数，则“（a）（b）”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8（5分）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为A3B5C7D99（5分）已知矩形，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，则ABCD10（5分）已知不等式，且对任意实数恒成立，则的最大值为A 2B 2C 2D 2二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11（5分）若复数为虚数单位），则的虚部为，12（5分）设，则，13（5分）已知中，角，的对边分别为，且满足，则 ， 14（5分）已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率，15（5分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有 种（结果用数字表示）16（5分）若，满足，则最小值为17（5分）已知平面向量，满足，若，则的最小值为三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（12分）已知函数（）求的最小正周期；（）若在中（A）（B），求的值19（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为中点（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值20（12分）已知函数，其中，（）若函数在区间，上不单调，求的取值范围；（）若函数在区间，上有极大值，求的值21（12分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值四、选考题：选修4-4：坐标系与参数方程请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）数列，满足条件：，其中证明：对于任意的正整数，有如下结果成立（）数列为等比数列；（）记数列，则数列为单调递减数列；（）2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则A，B，C，D，【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先求出集合，由此能求出【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）双曲线的渐近线方程为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的简单性质直接求解【解答】解：双曲线的渐近线方为，整理，得故选：【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用3（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：则该几何体的体积（单位：是ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离【分析】该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，结合图中数据，计算它的体积即可【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，且俯视图是等腰直角三角形，结合图中数据，计算它的体积为故选：【点评】本题考查了由三视图求体积的问题，是基础题4（5分）已知实数，满足条件，那么的最大值为ABC1D2【考点】：简单线性规划【专题】13：作图题【分析】先根据约束条件画出可行域，表示斜率为2的直线在轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在轴上的截距最小值即可【解答】解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点时，取得最大值，故选：【点评】本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题5（5分）函数，则A是非奇非偶函数B奇偶性与，有关C奇偶性与有关D以上均不对【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，由函数的解析式求出，分析与的关系，由函数奇偶性的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，则函数，则有，则函数是奇函数；故选：【点评】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是掌握函数的奇偶性的判定方法6（5分）等差数列的公差为，前项的和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是ABCD【考点】83：等差数列的性质【专题】11：计算题【分析】利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于的关系式，由已知式子为定值得到为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简，也得到关于的关系式，进而得到为定值【解答】解：，且是一个定值，为定值，又，为定值故选：【点评】此题考查了等差数列的通项公式，求和公式，以及等差数列的性质，的值是已知与未知桥梁与纽带，灵活运用等差数列的通项公式求出的值是解本题的关键7（5分）已知函数，则“（a）（b）”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用；：简易逻辑【分析】函数，是奇函数，且在上增函数，进而可得答案【解答】解：函数，是奇函数，且在上增函数，则“（a）（b）” “（a）（b）” “” “”，故“（a）（b）”是“”的充要条件，故选：【点评】本题以充要条件为载体，考查了函数的单调性和奇偶性，难度中档8（5分）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为A3B5C7D9【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；：概率与统计【分析】由题意可得：，1，2，可得分布列，可得与【解答】解：由题意可得：，1，2，分布列为： 0 1 2 当且仅当时取等号故选：【点评】本题考查了相互独立、互斥事件的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知矩形，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，则ABCD【考点】：二面角的平面角及求法【专题】15：综合题；38：对应思想；44：数形结合法；：空间角【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点在平面上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求【解答】解：如图，四边形为矩形，当点在底面上的射影落在上时，有平面底面，又，可得平面，则，平面，在中，设，则，说明为的中点；当点在底面上的射影落在上时，可知，设，则，要使点在平面上的射影在内（不含边界），则点的射影落在线段上（不含端点）可知为二面角的平面角，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，可求得，且，而的最小值为1，则故选：【点评】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档题10（5分）已知不等式，且对任意实数恒成立，则的最大值为A 2B 2C 2D 2【考点】：函数恒成立问题【专题】35：转化思想；：构造法；51：函数的性质及应用【分析】不等式化为恒成立，构造函数，利用导数判断的单调性，求的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值【解答】解：不等式化为，令，则，若，则，函数函数单调增，当时，不可能恒有；若，由，得极小值点，由，得，则，令，则，则当时，当时，则当时，取得极大值，而（2），的最大值为故选：【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，是综合题二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11（5分）若复数为虚数单位），则的虚部为4，【考点】：复数的运算【专题】34：方程思想；35：转化思想；：数系的扩充和复数【分析】利用运算法则可得再利用运算法则、虚部的定义与模的计算公式即可得出【解答】解：复数，则的虚部为4，故答案为：4，5【点评】本题考查了复数运算法则、虚部的定义与模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）设，则，【考点】：二项式定理【专题】33：函数思想；：转化法；：二项式定理【分析】把已知二项式变形，可得，取，可得；把二项式两边求导数，取可得的值【解答】解：，取，可得；把两边求导，可得，取，即，可得，即故答案为：；80【点评】本题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题13（5分）已知中，角，的对边分别为，且满足，则， 【考点】：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得，可求范围：，利用正弦函数的图象和性质可求的值，利用三角形面积公式可求的值，进而利用余弦定理可求的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解【解答】解：，可得：，可得：，可得：，由余弦定理可得：，故答案为：，2【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比例的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（5分）已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率，【考点】：椭圆的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：椭圆的右焦点为，设，由题意可得，由可得：，代入可得：，解得，解得则，故答案为：；【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力15（5分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有1296种（结果用数字表示）【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；34：方程思想；：排列组合【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，、若第8节安排选修课，、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有种排法；对第8节课分情况讨论：、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有种情况，此时有种安排方法；、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有种情况，此时有种情况，则后面7节课有种安排方法；则所有不同的排法共有种；故答案为：1296【点评】本题考查排列组合的应用，注2节自修课之间是相同的，而其他科目之间是不同的16（5分）若，满足，则最小值为【考点】：函数的最值及其几何意义；57：函数与方程的综合运用【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用【分析】配方可得，由基本不等式可得，进而可得，由此可得的表达式，取可得最值【解答】解：，故，由基本不等式可得，当且仅当，即，又，可得，故，即，故，解得，当时，的最小值为故答案为：【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，正弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题17（5分）已知平面向量，满足，若，则的最小值为【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；：定义法；：平面向量及应用【分析】由题意建立直角坐标系，设出向量、和的坐标表示，把向量的模长转化为点到点、的距离之和最小问题，由此求得最小值【解答】解：由题意设，且；则，问题转化为点到点的距离和到点的距离之和最小，点在曲线上运动，点在圆上运动，所以；当且仅当与共线同向时取“”，设点关于直线对称的点为，所以，所以故答案为：【点评】本题考查了平面向量的模长以及绝对值不等式的应用问题，是难题三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（12分）已知函数（）求的最小正周期；（）若在中（A）（B），求的值【考点】：三角函数的周期性【专题】35：转化思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】（）利用二倍角辅助角化简，结合三角函数的性质可得的最小正周期；（）根据（A）（B）求解出，关系，由，利用正弦定理可得的值【解答】解：（）函数化简可得：的最小正周期；（）（A）（B），即即或（舍去）或，或者，或【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力，和正弦定理的应用，比较基础19（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为中点（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值【考点】：直线与平面垂直；：直线与平面所成的角【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）在平面内的射影为的中点，连接，则，推导出，则，从而平面，由此能证明（）设、交于，取中点，连接、，推导出，与平面所成的角，即为与平面所成的角，推导出为与平面所成的角，由此能求出与平面所成角的正弦值【解答】证明：（），中，在平面内的射影为的中点，连接，则平面，在直角梯形中，平面，解：（）设、交于，则，取中点，连接、，则，与平面所成的角，即为与平面所成的角，为中点，平面，即平面，为与平面所成的角，在中，与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）已知函数，其中，（）若函数在区间，上不单调，求的取值范围；（）若函数在区间，上有极大值，求的值【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）由函数，其中，可得由题意可得：在区间上有解，分离参数可得：，利用二次函数的单调性即可得出（2）当时，函数在，上单调递增，此时无极值当时，函数在，上单调递减，此时无极值当时，由，得，则（其中，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得，又，消去利用导数研究函数的单调性进而得出【解答】解：（1）函数，其中，函数在区间，上不单调，在区间上有解，（2）当时，函数在，上单调递增，此时无极值当时，函数在，上单调递减，此时无极值当时，由，得，则（其中，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得又，代入得设函数，则，所以函数在上单调递增，而（e），所以，所以当时，函数在，由极大值为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值【考点】：直线与抛物线的综合【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）通过，圆心在线段平分线上，推出求出，推出抛物线的方程（2）