湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 函数的最值与导数课件 新人教A版选修11 .ppt

第三章导数及其应用 3 3 3函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大 哪个值最小 观察区间 a b 上函数y f x 的图象 你能找出它的极大值点 极小值点吗 极大值点 极小值点 你能说出函数的最大值点和最小值点吗 最大值点 a 最小值点 d 最小值是f b 单调函数的最大值和最小值容易被找到 函数y f x 在区间 a b 上 最大值是f a 图1 最大值是f x3 图2 函数y f x 在区间 a b 上 最小值是f x4 一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 怎样求函数y f x 在区间 a b 内的最大值和最小值 思考 只要把函数y f x 的所有极值连同端点的函数值进行比较即可 例1 求函数f x x3 12x 12在 0 3 上的最大值 最小值 例1 求函数f x x3 12x 12在 0 3 上的最大值 最小值 解 由上节课的例1知 在 0 3 上 当x 2时 f x x3 12x 12有极小值 并且极小值为f 2 4 又由于f 0 12 f 3 3 因此 函数f x x3 12x 12在 0 3 上的最大值为12 最小值为 4 求函数y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 即端点的函数值 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 练习1 求函数y 5 36x 3x2 4x3在区间 2 2 上的最大值与最小值 因为f 2 57 f 1 5 28 75 f 2 23 所以函数的最大值为57 最小值为 28 75 解 36 6x 12x2 6 2x2 x 6 令 0 解得x1 2 x2 1 5 练习2 求函数f x x3 3x2 6x 2在区间 1 1 上的最值 解 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 因为在 1 1 内恒大于0 所以f x 在 1 1 上是增函数 故当x 1时 f x 取得最小值 12 当x 1时 f x 取得最大值2 例2 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 令3 解 1 3x2 6x 9 函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a f 2 f 2 于是有22 a 20 解得a 2 f x x3 3x2 9x 2 f x 在 1 2 上单调递增 在 1 3 上 0 又由于f x 在 2 1 上单调递减 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 f 1 1 3 9 2 7 例3 证明 当x 0时 x ln 1 x 解 设f x x ln 1 x 即x ln 1 x 又因为f x 在x 0处连续 所以f x 在x 0上单调递增 从而当x 0时 有f x x ln 1 x f 0 0 练习3 当x 1时 证明不等式 证 设 显然f x 在 1 上连续 且f 1 0 显然 当x 1时 故f x 是 1 上的增函数 所以当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 例4 求证 证明 设 在x 1附近由负到正 令 0 解得x 1 当x 1时 f x 有极小值 这里也是最小值 所以当x 0时 f x f 1 0 从而 小结 求函数y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y