2017年湖北省襄阳四中高考数学一模试卷（理科）（含解析）

2017年湖北省襄阳四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合，则等于AB，C0，D，1，2（5分）已知复数 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是ABCD3（5分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为A4.5B6C7.5D94（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是ABCD5（5分）函数的图象大致是ABCD6（5分）已知数列满足，则AB6CD27（5分）在三角形中，分别为边，上的点，且，则等于ABCD8（5分）已知函数，的图象如图所示，若，则的值为ABCD9（5分）设函数，为定义在上的奇函数，且当时，若（a），则实数的取值范围是ABC，D，10（5分）已知平面平面，且，是正方形，在正方形内部有一点，满足、与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为ABCD11（5分）设为双曲线上且在第一象限内的点，分别是双曲线的左、右焦点，轴上有一点且，是的中点，线段与交于点若，则双曲线的离心率是ABCD12（5分）若存在正实数，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）若变量，满足条件，则最小值为14（5分）若随机变量，且，则展开式中项的系数是 15（5分）半径为1的球内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是16（5分）在中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围为 三、解答题：包括必考题和选考题两部分.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生任选一题作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知、分别在射线、（不含端点上运动，在中，角、所对的边分别是、（）若、依次成等差数列，且公差为2求的值；（）若，试用表示的周长，并求周长的最大值18（12分）光农业科学研究所对冬季昼夜温差大小与反季节土豆发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日温差101113128发芽数（颗2326322616设农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验（）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？（注，19（12分）如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点在上，且（）已知点在上，且，求证：平面平面；（）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？20（12分）已知椭圆的焦距为2，点，在直线上（1）求椭圆的标准方程；（2）若为坐标原点，为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切点于点，求面积的最小值21（12分）已知，其中（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（2）求的极值；（3）若函数有两个极值点，证明四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径（）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（）设直线与圆相交于，两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数（）当时，求不等式的解集；（）证明：2017年湖北省襄阳四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合，则等于AB，C0，D，1，【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先分别求出集合和，由此能求出【解答】解：集合，1，2，3，1，故选：【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）已知复数 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是ABCD【考点】：复数的代数表示法及其几何意义【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数的共轭复数的共在复平面内对应的点在第三象限，解得，且，则实数的取值范围是故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为A4.5B6C7.5D9【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值为，即可解得的值【解答】解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为，由题意可得：，解得：故选：【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题4（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是ABCD【考点】：几何概型【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：概率与统计【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为故飞镖落在阴影区域的概率为故选：【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长5（5分）函数的图象大致是ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】由题意，函数在上单调递减，在，上单调递减，即可得出结论【解答】解：由题意，函数在上单调递减，在，上单调递减，故选：【点评】本题考查函数的图象，考查学生的计算能力，比较基础6（5分）已知数列满足，则AB6CD2【考点】：数列递推式【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】数列满足，可得，可得即可得出【解答】解：数列满足，可得则故选：【点评】本题考查了等数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）在三角形中，分别为边，上的点，且，则等于ABCD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】：平面向量及应用【分析】利用向量共线定理和数量积运算即可得出【解答】解：，故选：【点评】熟练掌握向量共线定理和数量积运算是解题的关键8（5分）已知函数，的图象如图所示，若，则的值为ABCD【考点】：由的部分图象确定其解析式【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，求出函数的解析式再由求出的值，可得的值，再由两角差的正弦公式求得的值【解答】解：由函数的图象可得，且，解得再由五点法作图可得，解得故函数的解析式为 再由，可得 ，解得，故有，故选：【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题9（5分）设函数，为定义在上的奇函数，且当时，若（a），则实数的取值范围是ABC，D，【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】先将不等式转化为（a），再根据函数的解析式，分类求解【解答】解：设，则，由题意，（a），（a），或或，或，故选：【点评】本题考查不等式的解法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10（5分）已知平面平面，且，是正方形，在正方形内部有一点，满足、与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为ABCD【考点】：轨迹方程【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间向量及应用【分析】建立空间直角坐标，求得，和点坐标，由题意可知，利用空间中两点之间的距离公式，即可求得的轨迹方程，即可求得点的轨迹长度【解答】解：由题意可知，以为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，1，2，0，由直线，与平面所成的角，均为锐角，即，即，则，整理得：，由此可得：在正方形内的轨迹是以点，0，为圆心，以为半径的圆弧，则圆心角，则圆弧弧长，故选：【点评】本题考查空间向量的坐标表示，考查空间中两点之间的距离公式，轨迹方程的求法，考查数形结合思想，属于中档题11（5分）设为双曲线上且在第一象限内的点，分别是双曲线的左、右焦点，轴上有一点且，是的中点，线段与交于点若，则双曲线的离心率是ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出的横坐标，利用是的中点，线段与交于点，得出，即可得出结论【解答】解：由题意，直线的方程为，令，可得，是的中点，线段与交于点，故选：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查中等坐标的运用，属于中档题12（5分）若存在正实数，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是ABCD【考点】：存在量词和特称命题【专题】35：转化思想；：构造法；53：导数的综合应用【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解答】解：由得，即，即设，则，则条件等价为，即有解，设，为增函数，（e），当时，当时，即当时，函数取得极小值为：（e），即（e），若有解，则，即，则或，实数的取值范围是，故选：【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）若变量，满足条件，则最小值为1【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】画出已知条件的可行域，利用目标函数的最值求解即可【解答】解：变量，满足条件，满足的可行域如图：目标函数最小值是经过可行域的时，最小；由图形可知，则最小值为：1故答案为：1【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域找出目标函数的最优解，是解题的关键14（5分）若随机变量，且，则展开式中项的系数是1620【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：概率与统计；：二项式定理【分析】根据正态分布的概率性质求出的值，再化；利用展开式的通项公式求出含的系数，即可求出对应项的系数【解答】解：随机变量，均值是2，且，；又展开式的通项公式为，令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；展开式中项的系数是故答案为：1620【点评】本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题15（5分）半径为1的球内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是【考点】：球内接多面体【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】如图所示，设球心为点，上下底面的中心分别为，设正三棱柱的底面边长与高分别为，可得在中，利用勾股定理可得，由于，可得，即可得出【解答】解：如图所示，设球心为点，上下底面的中心分别为，设正三棱柱的底面边长与高分别为，则，在中，化为，当且仅当时取等号，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是，故答案为：【点评】本题考查了正三棱柱的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）在中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围为【考点】：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形【分析】由已知及正弦定理得，由余弦定理可求，从而化简可得，结合范围，可求的取值范围【解答】解：，可得：，即：，又点，分别是，的中点，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，可得：，可得：故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，不等式的解法在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题：包括必考题和选考题两部分.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生任选一题作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知、分别在射线、（不含端点上运动，在中，角、所对的边分别是、（）若、依次成等差数列，且公差为2求的值；（）若，试用表示的周长，并求周长的最大值【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】58：解三角形【分析】（）由题意可得、又因，可得，恒等变形得，再结合，可得的值（）在中，由正弦定理可得，的周长再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得取得最大值【解答】解：（）、成等差，且公差为2，、又，恒等变形得，解得，或又，（6分）（）在中，由正弦定理可得，的周长，（10分）又，当，即时，取得最大值 （12分）【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）光农业科学研究所对冬季昼夜温差大小与反季节土豆发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日温差101113128发芽数（颗2326322616设农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验（）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？（注，【考点】：线性回归方程【专题】36：整体思想；：定义法；：概率与统计【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种根据等可能事件的概率做出结果（2）根据所给的数据，先做出，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的【解答】解：（1）恰好是不相邻的2天数据的概率（2）由数据得：；，；，；，；故关于的线性回归方程（3）当时，；当时，故得到的线性回归方程是可靠的【点评】本题考查线性回归方程的应用，在解题过程中注意对于预报值的估计，属于基础题19（12分）如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点在上，且（）已知点在上，且，求证：平面平面；（）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离【分析】（）推导出，从而，进而四边形是平行四边形，推导出，从而平面，由此能证明平面平面（）由，知平面，则为直线与平面所成的角，取的中点为，连接，则，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角【解答】（）证明：，底面是直角梯形，即，四边形是平行四边形，则，底面，平面，平面，平面平面（）解：，平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成夹角为，则，即，取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，1，设平面的法向量，则即令，则，是平面的一个法向量，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题20（12分）已知椭圆的焦距为2，点，在直线上（1）求椭圆的标准方程；（2）若为坐标原点，为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切点于点，求面积的最小值【考点】：直线与椭圆的综合【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可知：，由，在直线上即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，即可求得点坐标，根据三角形的面积公式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得面积的最小值【解答】解：（1）椭圆的焦距为2，则，又点，在直线上，椭圆的标准方程是；（2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设，由，整理得，由，则，则，由，则当时，面积，又，令，则，由，得，在上单调递减，在，单调递增，即当的斜率为时，面积的最小值为同理当时，当的斜率为时，面积的最小值为综上，面积的最小值为【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查导数与函数单调性的关系，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知，其中（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（2）求的极值；（3）若函数有两个极值点，证明【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】32：分类讨论；：分类法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出导函数，根据切线的和导函数的关系求解 即可；、（2）求出导函数，对进行分类讨论，在不同区间求出函数的单调性，进而判断函数的最值问题；（3）根据（2）可知的范围，得出（a）（1），作差放缩可得，构造函数，利用导函数得出函数的单调性，得出（a）（1），得出结论【解答】解：（1）当时，所以切线的斜率，又直线过原点，所以，由，得，所以，故切线的方程为（2）由，可得，当时得，得，在上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且（1），没有极大值当时，得或，得在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极大值，且（a），在时取到极小值，且（1）；当时恒成立恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；当时得或，得，在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且（a），在时取到极大值，且（1）；综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；当时，在时取到极大值，在时取到极小值；