湖南省永州市新田县第一中学高中数学 23 反证法课件 理 新人教A版选修22.ppt

反证法 直接证明是从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推理证明结论的真实性 常用的直接证明方法有综合法与分析法 综合法的思路是由因导果 分析法的思路是执果索因 在解决有关问题时 常常把分析法和综合法结合起来使用 先用分析法寻求解题思路 再用综合法解答或证明 有时要分析法和综合法结合起来交替使用 古时候有个人叫王戎 7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩 看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了 小伙伴们都跑去摘 只有王戎站着没动 他说 李子是苦的 我不吃 小伙伴摘来一尝 李子果然苦的没法吃 路边苦李 小故事 小伙伴问王戎 这就怪了 你又没有吃 怎么知道李子是苦的啊 王戎说 如果李子是甜的 树长在路边 李子早就没了 李子现在还那么多 所以啊 肯定李子是苦的 不好吃 间接证明不是从正面证明命题的真实性 而是证明命题的反面为假 或改证它的等价命题为真 间接地达到证明的目的 反证法就是一种常用的间接证明方法 证明 在一个三角形中至少有一个角不小于60 引例 已知 a b c是 abc的内角 求证 a b c中至少有一个不小于60 已知 a b c是 abc的内角 求证 a b c中至少有一个不小于60 证明 假设的三个内角a b c都小于60 a b c 180 反证法的一般步骤 假设原命题不成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 例1 反馈练习 假设互补的两个角都大于90 假设 abc中 至少有两个钝角 2 已知 abc中 ab ac 求证 b180 这与三角形内角和定理相矛盾 2 所以 b 90 3 假设 b 90 4 那么 由ab ac 得 b c 90 即 b c 180 这四个步骤正确的顺序应是 a 1 2 3 4 b 3 4 2 1 c 3 4 1 2 d 4 3 2 1 反馈练习 c 例2 求证 是无理数 证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 o中 弦ab cd交于点p 且ab cd不是直径 求证 弦ab cd不被p平分 例3 证明 假设弦ab cd被p平分 连结ad bd bc ac 因为弦ab cd被p点平分 所以四边形abcd是平行四边形 所以 因为abcd为圆内接四边形 所以 因此 所以 对角线ab cd均为直径 这与已知条件矛盾 即假设不成立 所以 弦ab cd不被p平分 证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 o中 弦ab cd交于点p 且ab cd不是直径 求证 弦ab cd不被p平分 例3 由于p点一定不是圆心o 连结op 根据垂径定理的推论 有 所以 弦ab cd不被p平分 证明 假设弦ab cd被p平分 即过点p有两条直线与op都垂直 这与垂线性质矛盾 即假设不成立 证法二 op ab op cd 演练反馈 2 平面内有四个点 没有三点共线 证明 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形 记四个点为a b c d 考虑点d在之内或之外两种情况 1 如果点d在之内 根据假设 都为锐角三角形 所以 这与一个周角为360 矛盾 演练反馈 2 平面内有四个点 没有三点共线 证明 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 1 如果点d在之外 根据假设 都是锐角三角形 即 这与四边形内角和矛盾 所以 综上所述 假设不成立 从而题目结论成立 即这些三角形不可能都为锐角三角形 总结提炼 1 用反证法证明命题的一般步骤是什么 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与已知定义 公理 定理矛盾 自相矛盾等 反设 归谬 结论 2 用反证法证题 矛盾的主要类型有哪些 应用反