最大值原理ppt课件.ppt

第二章最大值原理及其应用 1 最大值原理上一章利用变分法讨论了控制无约束的最优控制问题 这一章讨论控制有约束的情况 介绍Pontryagin最大值原理 考虑下列最优控制问题 1 为容许控制集 紧集 有界闭集 凸的 例如 可测 目标函数 在允许控制集中求一个控制使最小 最大 2 定义Hamilton函数 假设 关于自变量连续 设为最优控制 为对应的最优 3 轨线 最大值原理给出为使达最小 大 值的必要条件 定理1 最大值原理 为最优控制的必要条件是 1 存在协状态向量它和满足下列正则方程组 4 2 Hamilton函数作为的函数 在达到最小 大 值 即 将视为常数 关于取最小值 3 边界条件 一 如果已给 则正则方程的边界条件为 5 注 当问题是求解使达最大值时 则必要条件中 2 因为 二 若已给 已知 而自由时 边界条件为 6 三 如果自由 则边界条件为 以确定 边界条件的推导与无约束最优控制问题相同 例1 已知系统的状态方程为 7 求使得最小 解 Hamilton函数为 协状态方程为 8 即 由经典变分法 它不满足协状态方程 因此用古典变分法不能得到最优解 9 由最大值原理 应选使最小 当时 使最小 当时 使最小 当时 所以 为减函数 这样得到的最优控制为 10 由状态方程 11 当取最优控制时 12 13 14 例2 鱼塘的最优管理问题 鱼塘的动态模型 设为时刻鱼的总数 为捕捞速度 单位时间内捕捞的鱼数 则鱼群的数学模型方程为 为鱼的自然增长率 15 最优管理的问题是 求一个捕捞速度使得 并使总捕捞量 达到最大 解 由最大值原理Hamilton函数作为的函数 应在最优控制达到最大值 16 因此 正则方程 边界条件 17 对于不同的 和可有下列三种情况 18 19 20 21 22 23 其中为切换时间 即捕捞速度改变到的时刻 正则方程的第一个状态方程的解可表示成 设 24 例4 基金管理 有一笔基金20万元 存入银行 年利10 计划用60年 到60年时只剩3千元 每年支取不少于1万5千 25 不多于4万 求最优的策略使得总额最大 解 状态方程 初值 终值 约束 目标函数 求使得最大 26 解 令由最大值原理及Hamilton函数的表示 可知 正则方程 27 解正则方程中的协状态方程 1 如果 则 可得 显然不合题意 2 如果 同样有 28 3 如果 由小于 1变成大于 1 在上 由可得 29 在上 两式中的相等 可得注 前面讲过的无约束最优控制中的必要条件只是最大值原理的特殊情况 关于的梯度在处为0 是使取得极值的必要条件 30 因此前面的无约束最优控制问题均可利用最大值原理来求解 PMP有的参数书上也称之为最小值原理 实质上没有什么区别 只要稍加变换即可 注 1 如果 已知 自由 目标函数为 31 则 为最优控制的必要条件 1 和 2 与定理1相同 3 边界条件 32 当自由时 再增加一个条件 2 如果已给 要求落在维轨线上 33 结果与定理1相同 一 固定 1 正则方程 2 优化 34 3 边界条件 为独立参数 35 二 自由时 增加一个条件 3 当都不显含时 中不显含 同前面一样 当固定时 如果自由 36 2 最大值原理应用 2 1线性系统的最小时间控制问题 在许多问题中 人们感兴趣的性能指标是考虑把系统的初始状态转移到某个规定状态 所需要的时间最短 37 已知系统的状态方程 其中 38 问题是 求控制 使系统从已知的初始状态转移到点 并且使得最小 这就是所谓的最小时间控制问题 是自由的 39 求解最小时间控制系统 利用最大值原理 40 定理2 1 如果为最小时间控制问题的最优控制 为最优轨线 则 1 存在协状态向量 和满足下列正则方程 2 边界条件 41 3 在上其中 42 证明 由使最小向量形式 43 为最优协状态向量 则满足协状态方程 又由自由及不显含 则 44 沿着最优轨线的导数 此时 即 45 最优控制如果存在的话 则或取 1或取 1 因此控制是Bang Bang控制型的 Bang Bang原则对于线性定常系统 能控集 46 设 设 令 令 47 定理2 2 Bang BangPrinciple 对于线性定常系统 有 并且是依赖于的紧凸集 最小时间控制系统的性质1 正则与奇异性概念 最小时间控制问题的最优解 48 49 50 正则性 定义1 对 除有限点为零外 则称最小时间控制是正则的 奇异性 定义2 设在上至少有一个小区间 使得对某一有 则称最小时间控制是奇异的 51 定理2 3 最小时间控制是正则的充要条件是 完全能控 证明 反设为奇异的 存在使得某个 52 53 而 矛盾 因此 正则性成立 反设不能控 54 令 设为的特征多项式 则 则 矛盾 55 定理2 4 对于正则最小时间问题 若A的特征根均为实数 则最优控制的每一个分量都是有限段的逐段常值函数 并且切换次数最多为次 证明 切换时刻为的实根 先考虑单根 均为单根的情况 56 为的不相同的特征根 如果存在重根 则令重数为 则 57 只需证明 最多有个根 反设有个根 令 有个根 则在之间必有的一个根 记为 58 则共有个根令 有个根 必有个根 即 有个根有个根 令 至少有一个根 矛盾 证毕 59 定理2 5 正则的最小时间问题的最优控制如果存在 则是唯一的 证明 反设不唯一 存在不同的和均为最优控制 令可以证明为最优的 和为Bang Bang控制 均在相同时间将状态转移到0状态 因为是线性定常系统的控制 由线性方程解的叠加性原理可知 60 也在时刻将状态转移到0状态 因此亦为最优解 又因为和是不相等的 所以不是Bang Bang控制 又最小时间问题的最优解一定是Bang Bang控制 矛盾 唯一性成立 61 例1 升降机的快速控制问最小 解 62 由最大值原理协状态方程 63 64 65 66 67 为了得到 研究状态轨线 当时消去可得 68 或 在平面 相平面 上是一族抛物线 在这些抛物线中只有 69 能达到点 70 71 当时 只有能达到点 将和拼起来 记为 将平面分成两部分 和 72 73 在实际问题中 如果 但取 图中阴影部 74 分 状态只能沿交于轴 当向下的初速度过大时