浙江省富阳市第二中学高中数学 1.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

3 3 2函数的极值与导数 一 复习导入 复习旧课 1 解 f x 在 4 2 内单调递增 求导数 求临界点 列表 写出单调性 f x 0 x 4 x 2 0 x2 f x 在 4 2 内单调递减 f x 0 x 4 x 2 0 4 x 2 还记得高台跳水的例子吗 一 复习导入 导入新课 h t 4 9t2 6 5t 10 一 复习导入 导入新课 单调递增h t 0 单调递减h t 0 h a 0 2 跳水运动员在最高处附近的情况 1 当t a时运动员距水面高度最大 h t 在此点的导数是多少呢 2 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 3 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 将最高点附近放大 t a t a t a 导数的符号有什么变化规律 在t a附近 f x 先增后减 h x 先正后负 h x 连续变化 于是有h a 0 f a 最大 对于一般函数是否也有同样的性质吗 h t 4 9t2 6 5t 10 一 复习导入 导入新课 探究 3 1 如图 y f x 在c d等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 导数值呢 导数符号呢 cdefoghijx y 一 复习导入 导入新课 3 2 如图 y f x 在a b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 导数值呢 导数符号呢 探究 x y o a b y f x 0 0 0 0 极小值点 极大点 f a 0 f b 0 二 讲授新课 了解概念 什么是极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 f a f b 小结 极大值点和极小值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 a b x y o 定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有 我们就说f x0 是f x 的一个极大值 点x0叫做函数y f x 的极大值点 反之 若 则称f x0 是f x 的一个极小值 点x0叫做函数y f x 的极小值点 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点 1 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 2 极值点是函数定义域内的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数没有极值 总结 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 如图 1 5 若函数f x 在 a b 上有极值 它的极值点的分布是有规律的 如图 2 所示 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 导数为0的点不一定是极值点 练习1 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 a b x y x1 o x2 x3 x4 x5 x6 探究 极值点处导数值 即切线斜率 有何特点 结论 极值点处 如果有切线 切线水平的 即 f x 0 f x1 0 f x2 0 f x3 0 思考 若f x0 0 则x0是否为极值点 若寻找可导函数极值点 可否只由f x 0求得即可 思考 探索 x 0是否为函数f x x3的极值点 f x 3x2当f x 0时 x 0 而x 0不是该函数的极值点 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 进一步探究 极值点两侧函数图像单调性有何特点 极大值 极小值 即 极值点两侧单调性互异 f x 0 x1 极大值点两侧 极小值点两侧 f x 0 f x 0 f x 0 探究 极值点两侧导数正负符号有何规律 x2 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 注意 1 f x0 0 x0不一定是极值点 2 只有f x0 0且x0两侧单调性不同 x0才是极值点 3 求极值点 可以先求f x0 0的点 再列表判断单调性 结论 极值点处 f x 0 因为所以 例1求函数的极值 解 令解得或 当 即 或 当 即 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值28 3 当x 2时 f x 有极小值 4 3 例题4图像 2 o x y 2 28 3 4 3 f x 1 3x3 4x 4 例2 所以 当x 1是 函数的极大值是 2 当x 1时 函数的极小值是2 导函数的正负是交替出现的吗 不是 极大值 极小值 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况若f x 左正右负 则f x 为极大值 若f x 左负右正 则f x 为极小值 求导 求极点 列表 求极值 练习2 求下列函数的极值 解 令解得列表 单调递增 单调递减 所以 当时 f x 有极小值 练习2 求下列函数的极值 解 解得列表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 练习2 求下列函数的极值 解 解得 所以 当x 2时 f x 有极小值 10 当x 2时 f x 有极大值22 解得 所以 当x 1时 f x 有极小值 2 当x 1时 f x 有极大值2 思考 1 导数为0的点一定是函数的极值点吗 例如 f x x3 f x 3x2 0 f 0 3 02 0 结论 若f x0 是极值 则f x0 0 反之 f x0 0 f x0 不一定是极值 y f x 在一点的导数为0是函数y f x 在这点取得极值的必要条件 思考 2 极大值一定比极小值大吗 极值是函数的局部性概念 结论 不一定 极大值 极小值 极小值 函数的性质 单调性 单调性的判别法 单调区间的求法 函数极值 函数