分数预测.docx

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 06 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 西安财经学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 安婷婷 2. 肖东梅 3. 刘美莹 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李翠 日期： 2016 年 7 月 赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人备注送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：高考志愿填报中录取线及录取概率预测问题摘 要本文针对高考估分、志愿填报的实际问题,综合运用线性回归理论和层次分析法，建立了线性回归模型、录取概率模型、层次分析模型三个数学模型，较好地解决了题目所提出的问题。 对于问题一，建立二元线性回归模型，结合问题的实际情况，分别根据年份，往年一本线分数与录取人数，以及它们的不同二元结合，可得到不同的结果，进行对比后认为年份与一本线二元线性回归所得结果准确度最高。最后根据SPSS的计算结果确定预测录取分数线的计算公式。 对于问题二，建立录取概率模型，由往年每所学校平均分数线与最低分数线的平均差值，再利用问题一中预测的 2015 年平均分数线，估得2015 年最低分数线，并根据录取概率模型,得到该生被问题一预测得到平均录取线的高校录取的概率。 对于问题三，利用层次分析法，考虑学校、专业、学校所在地区和考生分数这四个因素以及不同学校在这四个方面的优劣，由此建立准则层判断矩阵，对待选的六所高校与四个因素分别列出判断矩阵并编程求解。关键词 高考志愿填报 录取概率 线性回归 层次分析13一. 问题重述对于高考考生来说，合理填报志愿是一个非常关键的问题，目前实行平行志愿投档方案（考生知道考分后填报六所高校作为平行志愿），大大降低了考生填报志愿的风险性，减少了高分学生落选的可能。但每年由于考生定位不准确，志愿高校间没有拉开差距，导致落选或者错报志愿的事情仍然时有发生。“知己知彼，百战不殆”，考生填报志愿最关键的工作就是准确评估自己被志愿高校录取的可能性。假定陕西某理工科考生2015 年考试成绩为630 分，他倾向于在本省上大学，该生从小喜欢摆弄机械，收集各类汽车，飞机模型。请你协助该考生进行志愿填报工作。任务 1：根据以往几年数据（可以在相应高校招生主页查询），考虑可能影响因素建立一个数学模型，用该模型预测陕西省几个高校理工科一本招生的平均录取线。任务 2：建立一个基于已有数据和预测数据的概率评估模型，评估该生被任务1预测得到平均录取线的高校录取的概率。任务 3：基于已有的录取分数预测模型和概率评估模型，将报考高校范围扩大到全国高校（其中必须包含两个陕西高校），根据该生的分数和爱好，协助该生制定一个报考方案，对六个志愿高校进行合理排序，以保证该生不落榜的前提下选到心仪的高校。二、问题分析这是一种对未来事务进行预测的类型的题目,分为定性预测和定量预测,要想对高校录取分数线和考生被录取概率进行准确预测,就要根据高校往年的录取纪录和目前的录取影响因素比如说:国家政策,今年的考题难易程度等因素,通过大量数据,找出其中的规律及关系,建立适当的数学模型,进行问题的解决.2.1问题一要求预测陕西几个高校理工科一本招生的平均录取线,所以需要建立适当的数学模型进行定量预测,需要查找几个特定高校的往年录取分数以及考虑影响平均录取线的因素,比如说今年的一本分数线,招生计划录取人数,国家政策等因素,综合这些因素,找出其中的关系和规律,可运用一次或二次线性回归模型对拟合建立适当的数学模型,对平均录取线进行估计求解。2.2 问题二要求建立一个基于已有数据和预测数据的概率评估模型，评估该生被预测得到平均录取线的高校录取的概率。我们可以基于一的结果,求出2015年的估计录取最低分,对该年的一本线分数,该生的实际分数,和基于一的估计平均分数,几者建立适当的模型,求出该生被高校录取的概率.2.3 问题三要求在高校范围扩大到全国的前提下,根据该生的分数,爱好倾向等制定一个报考六个平行志愿的方案,使其不落选且分数最大利用化.这时,影响因素进一步增多,并且需要综合考虑和权衡这些因素按照平行志愿梯度式的特点制定优质的方案,可利用层次分析法对问题进行研究和解决.三、模型假设（1） 问题附件中所给的数据都是准确可靠的. （2） 从相关学校官网获得的各种数据都能真实反映实际情况. （3） 录取人数与招生人数相同. （4） 该考生报考钱就已得知所在省份的一本分数线. （5） 考生最倾向于就读省内大学，若要在省外读大学，则倾向于北上广等一线城市. 四、符号说明数学符号含义说明dl估计的最低录取线和一本线的差值da 估计的平均录取分和一本线的差值p被录取的概率d考生实际分数和一本线的差值t年份h各所高校往年的一本线n录取人数p1北京理工大学 p2天津大学p3东南大学p4中山大学p5西安交通大学p6西北工业大学R拟合优度,F显著性y预测平均分数线五、模型建立与求解5.1 陕西部分高校的录取分数预测模型建立与求解5.1.1 问题背景 每年各所大学在具体省份的高考平均录取线，与年份、一本线、录取人数都有一定的关系。因此，在分析某校2015 年平均录取线的时候，不能只看这一绝对指标的大小，而是应该联系该学校往年的一本线、录取人数和年份变化来分析。 5.1.2 建立二元线性回归模型 设回归变量为xk( = 1,2),分代表两个因变量.用代表2015 年对应学校的平均分数线,建立二元线性回归模型,得到如下的二元线性回归方程： yk = a + bx1+cx2 + (1) 其中表示 yk ( = 1,2)对的回归系数,表示随机误差,且服从正态分布(0,2). 其中a,b,c表示 对的回归系数,表示随即误差,且服从正态分布(0,2)。借助SPSS软件,利用最小二乘法可以得到a, b, c,则与回归变量 xk的近似表达式为： y=a+ bx1+ cx2+e (2)其中是 与其拟合值 之间的离差，称为残差，把求得的a， b ,c数值代入上式，即可得到所需值。下面根据题目附表与从各目标院校官网得到的的相关数据，分别使自变量 xk ( = 1,2)代表年份和各所高校往年的一本线，录取人数和各所高校往年的一本线，各所高校往年的一本线和录取人数，用代表拟合优度，表示显著性如下表：表1 xk ( = 1,2)代表& , t&n, &时的（拟合优度）和(显著性)学校t&ht&nn&hyRFRFRF西安交通大学632.680.9680.2500.9070.4210.9510.309西北工业大学616.110.9880.1520.9160.4010.9770.215西安电子科技大学600.520.9840.1800.5660.8250.8960.443长安大学571.800.9940.1120.9460.3240.9890.147陕西师范大学561.281.0000.0050.9850.1750.9990.054西安理工大学538.881.0000.0230.8010.5980.9410.338西安工业大学495.521.0000.0050.8870.4620.9970.082由上表得知,以年份和一本线（t&h）作为自变量所预测到的（拟合优度）和(显著性)比其它两个作为自变量时要高一些,因此最终取以年份和一本线（t&h）为自变量的二元线性规划模型来对2015 年各大学平均分数线进行预测. 5.1.3 模型求解由SPSS结合陕西各高校20112014年的招生情况可以求得 y=a+ bx1+ cx2+e中的a,b,c值，然后带入相关的自变量即可求出预测分数线，下表给出了陕西部分高校的分数预测求解公式及预测结果：表2 各高校的预测公式及检验的2015年的预测录取分数误差情况学校预测平均分数线实际平均分数线误差计算公式西安交通大学631.56628+3.56y=5.357t+0.605h-10453.197西北工业大学616.11612+4.11y=5.132t+0.576h-10001.355西安电子科技大学600.52593+7.52y=7.188t+0.726h-14231.780长安大学571.80570+1.8y=3.344t+0.674h-9442.3750陕西师范大学561.28559+2.28y=8.552t+0.857h-17082.357西安理工大学538.88536+2.88y=6.889t+0.943h-13795.100西安工业大学495.52492+3.52y=3.235t+1.044h-6524.1210由上表可得我们的预测模型有一定的误差，但误差基本稳定在 4分左右，没有较大的偏差，所以我们的预测模型是有一定的可取性的。5.2 概率评估模型的建立与实际问题求解 5.2.1 概率评估模型的建立 录取概率模型的建立用dl 表示估计的最低录取线与一本线的差值，da 表示估计的平均录取分与一本线的差值,表示被录取的概率,表示考生实际分数与一本线的差值. 本文假设认为,当考生实际分数与一本线的差值和最低录取线与一本线的差值相等,即d=dl 时,被录取的概率为50%；当考生实际分数与一本线的差值和估计的平均录取分与一本线的差值相等,即dl dda 时,被录取的概率为100%；当考生实际分数与一本线的差值介于估计的最低录取线与一本线的差值和估计的平均录取分与一本线的差值,即d=da 时,被录取的概率为：因此得到： (3)p= 50% d=dl d-dl da-dl 50%+50% dl dda 100% d=da 5.2.2 模型求解与结果利用线性回归求出各所大学的与，所获的每一组与值与该考生的分数= 630分别代入5.1的录取概率模型中计算求解。得到该考生被西北工业大学、长安大学、西安电子科技大学、陕西师范大学、西安理工大学、西安工业大学录取的概率都是100%，被西安交通大学录取的概率是99.4。 5.3助该生制定一个报考方案5.3.1 层次分析模型所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序，以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法。层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。层次分析模型，如图： 图 1 层次分析模型 MATLAB代码见附录 5.3.2 模型求解构造成对比较矩阵学校 专业 地区 分数 学校 1 1/2 1/3 1/2 A= 专业 2 1 1 1 地区 3 1 1 1 分数 2 1 1 1 层次单排序及一致性检验特征向量 0.1272 W= 0.28040.31200.2804最大特征根及其它一致性指标：t=4.0206 CI=0.0069 CR=0.0077 disp(请输入准则层判断矩阵 A(n 阶); A=input(A=); n,n=size(A); V,D=eig(A);%求得特征向量和特征值 %求出最大特征值和它所对应的特征向量 tempNum=D(1,1); pos=1; for h=1:n if D(h,h)tempNum tempNum=D(h,h); pos=h; end end w=abs(V(:,pos); w=w/sum(w); t=D(pos,pos); disp(准则层特征向量 w=);disp(w);disp(准则层最大特征根 t=);disp(t); %以下是一致性检验 CI=(t-n)/(n-1);RI=0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1