2019学年山西大学附中高三（上）9月月考数学试卷（含解析）

2018-2019学年山西大学附中高三（上）9月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，则ABC或D2（5分）下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是ABCD3（5分）函数的递增区间是ABCD4（5分）函数的零点个数为A0B1C2D35（5分）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为A2BCD6（5分）在中，“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也必要条件7（5分）已知、给出下列不等式：；其中恒成立的不等式的个数为A4B3C2D18（5分），则ABCD9（5分）如果方程的两根为、，则的值是ABC35D10（5分）若函数且，则、的大小关系是ABCD11（5分）已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为ABCD12（5分）已知定义在上的函数满足且在，上是增函数，不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数，的单调递减区间为 14（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 15（5分）已知函数的图象关于点对称，且当时，成立，若，则，的从大到小排列是 16（5分）已知函数的定义域为，部分对应值如表的导函数的图象如图所示0451221下列关于函数的命题：函数是周期函数；函数在，上是减函数；如果当，时的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有4个零点其中真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）已知，求值；（2）若，求值18（12分）已知：中，三边，的对角为，且，（）求的值；（）若，且，求的面积19（12分）已知函数在上有定义，当时，且对任意，都有，试证明：（1）为奇函数；（2）在上单调递减20（12分）已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围21（12分）已知函数 （其中若为的极值点解不等式22（12分）设，函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当，时，求函数的最小值2018-2019学年山西大学附中高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，则ABC或D【考点】：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用；：其他不等式的解法【专题】11：计算题【分析】先根据不等式的性质，化简集合、，再根据交集的定义求出【解答】解：或故选：【点评】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴2（5分）下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是ABCD【考点】：函数单调性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据题目所给条件，说明函数在上应为减函数，其中选项是二次函数，是反比例函数，是指数函数，图象情况易于判断，是对数型的，从定义域上就可以排除【解答】解：函数满足“对任意的，当时，总有”，说明函数在上为减函数是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，所以函数在单调递减，在单调递增，不满足题意函数的定义域为，所以函数在无意义对于函数，设，则，因为，且，则，所以，故函数在上为减函数函数在上为增函数故选：【点评】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为上的减函数3（5分）函数的递增区间是ABCD【考点】：对数函数的单调性与特殊点【专题】11：计算题【分析】由得或，由于当时，单调递减，由复合函数单调性可知在上是单调递增的，在上是单调递减的【解答】解：由得或，当时，单调递减，而，由复合函数单调性可知在上是单调递增的，在上是单调递减的故选：【点评】本题考查了对数函数的单调区间，同时考查了复合函数的单调性，在解决对数问题时注意其真数大于0，是个基础题4（5分）函数的零点个数为A0B1C2D3【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】31：数形结合【分析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程的根的个数问题及一次函数的根的个数问题，分别画出方程左右两式表示的函数图象即得【解答】解：对于函数的零点个数转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图由图象可得两个函数有两个交点又一次函数的根的个数是：1故函数的零点个数为3故选：【点评】函数的图象直观地显示了函数的性质在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题体现了数形结合的数学思想5（5分）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为A2BCD【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到的值【解答】解：，曲线在点处的切线的斜率，曲线在点处的切线与直线垂直，直线的斜率，即故选：【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用6（5分）在中，“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】1：常规题型【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提【解答】解：在中，可判读它是的必要而不充分条件故选：【点评】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分7（5分）已知、给出下列不等式：；其中恒成立的不等式的个数为A4B3C2D1【考点】：不等式的基本性质【专题】59：不等式的解法及应用【分析】取，即可判断出；考察指数函数在上单调性，即可判断出；取，即可判断出；考察幂函数在上单调性，即可判断出；考察指数函数在上单调性，即可判断出【解答】解：取，虽然满足，但是不成立，因此不正确；考察指数函数在上单调递增，因此正确；取，虽然满足，但是不成立，因此不正确；考察幂函数在上单调递增，正确；考察指数函数在上单调递减，因此正确综上可知：只有三个正确故选：【点评】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题8（5分），则ABCD【考点】：对数的运算性质【专题】11：计算题【分析】利用对数的运算法则，能导出，再由，能求出【解答】解：，故选：【点评】本题考查对数的运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答9（5分）如果方程的两根为、，则的值是ABC35D【考点】：对数的运算性质；：一元二次方程的根的分布与系数的关系【专题】11：计算题【分析】由题意知，是一元二次方程的两根，依据根与系数的关系得，再根据对数的运算性质可求得的值【解答】方程的两根为、，是一元二次方程的两根，的值是故选：【点评】本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程的两根为、，则，导致错选10（5分）若函数且，则、的大小关系是ABCD【考点】：对数函数图象与性质的综合应用【专题】31：数形结合【分析】把、分别看作函数图象上的点，（a），（b），（b）与原点连线的斜率，对照图象可得答案【解答】解：由题意可得，、分别看作函数图象上的点，（a），（b），（b）与原点连线的斜率结合图象可知当时，故选：【点评】本题主要考查了利用对数函数的图象与直线斜率的关系，体现了数形结合的数形思想在解题中的应用11（5分）已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】变形利用基本不等式即可得出，利用函数为函数，关于直线对称，即可得出结论【解答】解：，当且仅当时取等号，的最小值为1，函数为函数，关于直线对称故选：【点评】本题考查了变形利用基本不等式，考查数形结合的数学思想，属于中档题12（5分）已知定义在上的函数满足且在，上是增函数，不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】：函数单调性的性质与判断；：抽象函数及其应用【专题】15：综合题；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】由题意，经考察四个选项，0不存在于，两个选项的集合中，中集合是中集合的子集，故可通过验证的值取0与1时两种情况得出正确选项【解答】解：定义在上的函数满足且在，上是增函数，可得出函数图象关于对称，且函数在上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有，0不存在于，两个选项的集合中，中集合是中集合的子集，故可通过验证的值取0与1时两种情况得出正确选项当时，不等式变为（2），有函数图象特征可得出，解得或，满足，不等式对任意，恒成立，由此排除，两个选项当时，不等式变为，有函数图象特征可得出，解得，不满足不等式对任意，恒成立，由此排除选项综上可知，选项是正确的故选：【点评】本题考查抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题，直接求解难度较大，根据正难则反的原则，采取排除法解答本题是最优的选项，借助四个选项中的特征找出切入点，通过验证两个特殊值0，1来排除错误选项得出正确选项，此种技巧在解答一些正面解答难度较大的选择题时有奇效，而将本题以填空与解答题的面目出现，则本题的解答技巧就无法使用了二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数，的单调递减区间为【考点】：正弦函数的单调性【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】利用三角函数的图象和性质以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论【解答】解：，函数的递减期间即为递增区间，由，得，当，函数的递减区间为，当，的单调递减区间为，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的图象性质，利用复合函数单调性之间单调性的关系是解决本题的关键14（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，【考点】：函数单调性的性质与判断；：函数奇偶性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可【解答】解：当时，此时函数单调递增，是定义在上的奇函数，函数在上单调递增，若对任意，不等式恒成立，则恒成立，即恒成立，即，解得，即实数的取值范围是，；故答案为：，；【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质15（5分）已知函数的图象关于点对称，且当时，成立，若，则，的从大到小排列是【考点】：函数单调性的性质与判断；：利用导数研究函数的单调性【专题】51：函数的性质及应用【分析】由的图象关于点对称，得到关于原点对称，即函数为奇函数，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后比较大小即可【解答】解：函数的图象关于点对称，关于原点对称，即函数为奇函数设，则为偶函数，当时，此时函数单调递减，即时，函数单调递增则，（2），（2），即故答案为：【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用导数研究函数的单调性问题，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强16（5分）已知函数的定义域为，部分对应值如表的导函数的图象如图所示0451221下列关于函数的命题：函数是周期函数；函数在，上是减函数；如果当，时的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有4个零点其中真命题的序号是【考点】：命题的真假判断与应用【专题】31：数形结合；48：分析法；53：导数的综合应用【分析】观察函数的图象知，求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间，和内，在上是减函数，由此能求出的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数的定义域，内，在处取极大值，在处取极小值（2），在处取极大值（4），再由（5），由此即可求出的最值；根据函数的单调性求出了的值域有零点，得，根据的范围进行判断【解答】解：的导函数的图象如图所示：观察图象知：在区间，和内，的单调递增区间是，和，；在和有，为减函数；故不正确，正确；两个极大值点：0和4，结合函数的图象知：函数的定义域，内，在处取极大值，在处取极小值（2），在处取极大值（4），又（5），当，时，的最大值是2，那么的最大值为，故错误；求函数的零点，可得，因为不知最小值的值，无法进行判断，故错误故答案为：【点评】本题考查函数的单调区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细观察图象，熟练掌握导数的应用三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）已知，求值；（2）若，求值【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用对数的运算性质把已知等式变形，可得，从而得到，则答案可求【解答】解：（1）由，得；（2）由，得，即，且，则【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查对数的运算性质，是基础题18（12分）已知：中，三边，的对角为，且，（）求的值；（）若，且，求的面积【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；58：解三角形【分析】（）根据题意，由正弦定理可得，变形可得，所以，进而可得，变形可得答案；（）在中，由余弦定理可得，又，解可得、的值，由三角形面积公式计算可得答案【解答】解：（）根据题意，中，则，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以（）在中，则有，又，所以有，即，所以的面积为【点评】本题考查三角形中几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、余弦定理的形式19（12分）已知函数在上有定义，当时，且对任意，都有，试证明：（1）为奇函数；（2）在上单调递减【考点】：函数单调性的性质与判断；：函数奇偶性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】（1）令可得，令，可得，故得证；（2）由单调性的定义，任取，且，由性质可得可得，由已知可判，进而得证【解答】解：（1）由题意，令代入已知式子可得：，解得，令，可得，即，故为奇函数；（2）任取，且，故，且，故，即，所以在上单调递减【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给，赋值是解决问题的关键，属基础题20（12分）已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围【考点】：函数恒成立问题；：对数函数的定义域【专题】11：计算题【分析】（1）因为的定义域为，所以对数的真数一定大于0恒成立，讨论二次项系数为0不成立，系数不为0时，得到系数大于0且根的判别式小于0求出的范围即可；（2）因为函数值域为，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出的范围即可【解答】解：（1）的定义域为恒成立当时，得，不成立当时，解得或综上得或（2）当时，得，不成立当时，解得综上得【点评】考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力21（12分）已知函数 （其中若为的极值点解不等式【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】53：导数的综合应用【分析】由于为的极值点，可得，得到当时，整理得令，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：函数，为的极值点，解得检验，当时，当时，当时，为的极值点，故当时，整理得，即或令，当时；当时，在单调递减，在单调递增，即，在上单