高中数学 8.7椭圆(二)配套课件 苏教版.ppt

第七节椭圆 二 三年3考高考指数 1 椭圆的第二定义 第二定义 焦半径 准线方程 通径 左焦半径 mf1 a ex0 上焦半径 mf2 a ey0 右焦半径 mf2 a ex0 下焦半径 mf1 a ey0 1 已知椭圆上一点p到椭圆左焦点的距离为3 则点p到右准线的距离为 解析 由已知易得p到椭圆右焦点的距离为10 3 7 答案 即时应用 2 设p是椭圆上的一点 f是椭圆的左焦点 f1是椭圆的右焦点 且则点p到该椭圆左准线的距离为 解析 由题设易知m是pf的中点 且om pf 由知 pf 2 mf 2 2 又易知该椭圆的离心率再由椭圆的第二定义得 点p到椭圆左准线的距离d答案 2 弦长公式设直线与椭圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则 k为直线斜率 即时应用 1 过椭圆的左焦点且倾斜角为45 的直线l与椭圆交于a b两点 则弦长 ab 解析 由已知可得 a2 4 b2 3 c2 4 3 1 椭圆的左焦点为f1 1 0 则直线方程为 y x 1 设a x1 y1 b x2 y2 则有 得 7x2 8x 8 0 故x1 x2 x1 x2 答案 解析 设直线l的方程为y x t 代入消去y得由题意得 2t 2 5 t2 1 0 即0 t2 5 弦长答案 2 斜率为1的直线l与椭圆相交于a b两点 则 ab 的最大值为 3 中点问题椭圆中 以p x0 y0 为中点的弦所在直线的斜率为k 则 o为原点 即时应用 1 思考 对于椭圆 a b 0 f1 f2为其左 右焦点 当点p x0 y0 落在椭圆外 椭圆上 椭圆内时 pf1 pf2 与2a有怎样的大小关系 与方程有怎样的关系 提示 当点p落在椭圆外时 pf1 pf2 2a 当点p落在椭圆上时 pf1 pf2 2a 当点p落在椭圆内时 pf1 pf2 2a 2 如果椭圆的一条弦被点a 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 解析 设弦的端点为c x1 y1 d x2 y2 则 将x1 x2 8 y1 y2 4代入上式得所以所求方程为y 2 x 4 即x 2y 8 0 答案 x 2y 8 0 椭圆中的最值与范围问题 方法点睛 1 求范围问题的常用方法 1 把已知条件表达出来 寻找不等关系 2 建立目标函数 转化为求函数的值域 2 寻找不等关系的常用方法有 1 方程有解 判别式大于等于零 2 隐含的字母的取值范围 3 不等式法 4 三角函数的有界性 5 三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 3 椭圆中的距离问题椭圆上任意一点m到焦点f的所有距离中 长轴端点到焦点的距离分别为最小距离和最大距离 且最大距离为a c 最小距离为a c 例1 2012 广州模拟 1 已知f1 f2是椭圆的两个焦点 满足 0的点m总在椭圆内部 则椭圆离心率的取值范围是 2 如图 已知椭圆c a b 0 的左顶点 右焦点分别为a f 右准线为m 圆d x2 y2 x 3y 2 0 若圆d过a f两点 求椭圆c的方程 若直线m上不存在点q 使 afq为等腰三角形 求椭圆离心率的取值范围 解题指南 1 由可得出mf1 mf2 又点m总在椭圆内部 由此可建立不等式找出a c的关系 求得e的范围 2 确定a f点的坐标 a c b 方程 由 afq不可为等腰三角形 fk k为m与x轴的交点 fa a c的不等式 e的不等式 e的范围 规范解答 1 mf1 mf2 点m在以o为圆心 以c为半径的圆上 点m总在椭圆内部 c2c2 又 e 0 答案 2 圆x2 y2 x 3y 2 0与x轴的交点坐标为a 2 0 f 1 0 故a 2 c 1 所以所以椭圆c的方程是 设直线m与x轴的交点是k 依题意 fk fa 即2e2 e 1 0 解得0 e 互动探究 在本例中 2 的条件下 若直线m与x轴的交点为k 将直线m绕k顺时针旋转得直线l 动点p在直线l上 过p作圆d的两条切线 切点分别为m n 求弦长mn的最小值 解析 直线l的方程是x y 4 0 圆d的圆心是 半径是 设mn与pd相交于h 则h是mn的中点 且pm md mn 2 mh 当且仅当 pd 最小时 mn 有最小值 pd 最小值即是点d到直线l的距离 所以mn的最小值是 反思 感悟 在例 1 中 由向量作为突破口 得到m点的轨迹 由此条件以及m点的位置关系建立不等式 在解析几何中 与向量综合时可能出现的情况可有如下情形 1 给出等于已知a是bc中点 2 给出以下情形之一 存在实数 使 若存在实数 且 1 使等于已知a b c三点共线 3 给出或给出即已知ma mb 即 amb是直角 给出 m0 等于已知 amb是锐角或0 角 变式备选 已知椭圆的一个顶点为a 0 1 焦点在x轴上 若右焦点到直线x y 0的距离为3 1 求椭圆的离心率e 2 设椭圆与直线y kx m k 0 相交于不同的两点m n 当 am an 时 求m的取值范围 解析 1 右焦点 c 0 到直线x y 0的距离d得c 又b 1 则a2 b2 c2 1 2 3 2 设m x1 y1 n x2 y2 由 1 得椭圆方程为把直线方程y kx m k 0 代入椭圆方程得 3k2 1 x2 6kmx 3 m2 1 0 36k2m2 12 3k2 1 m2 1 0 即 3k2 m2 1 0 且x1 x2 x1x2 由 am an 得 am 2 an 2 即x12 y1 1 2 x22 y2 1 2即x12 x22 y2 y1 2 y2 y1 k x2 x1 2m 2 k x2 x1 x1 x2 整理得3k2 2m 1 代入 得 m2 2m 0 解得0 m 2 椭圆中的定值问题 方法点睛 解决有关椭圆中的定值问题的策略 1 由于定点 定值是变化中的不变量 引进参数表述这些量 不变的量就是与参数无关的量 通过研究何时变化的量与参数无关 找到定点或定值的方法叫做参数法 其解题的关键是选择合适的参数表示变化的量 2 当要解决动直线过定点问题时 可以根据确定直线的条件建立直线系方程 通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标 例2 已知椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 短轴两个端点为a b 且四边形f1af2b是边长为2的正方形 1 求椭圆方程 2 若c d分别是椭圆长轴的左 右端点 动点m满足md cd 连结cm 交椭圆于点p 证明 为定值 3 在 2 的条件下 试问x轴上是否存在异于点c的定点q 使得以mp为直径的圆恒过直线dp mq的交点 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 解题指南 1 由已知得 a 2 b c 从而可求出a b得椭圆方程 2 设参数 想法把已知条件表达出来 把所求的表达出来 通过减元化为与参数无关的定值即可 3 假设存在q的坐标为q m 0 由mq dp列出m的方程 然后转化为此方程是否有解的问题 规范解答 1 a 2 b c a2 b2 c2 b2 2 椭圆方程为 1 2 c 2 0 d 2 0 设m 2 y0 p x1 y1 则 x1 y1 2 y0 直线cm 即代入椭圆x2 2y2 4得 定值 3 设存在q m 0 满足条件 则mq dp m 2 y0 则由得从而得m 0 存在q 0 0 满足条件 反思 感悟 在 1 中 要确定椭圆的标准方程 已经明确焦点的位置 即在本小题中要想求方程式 关键是确定a b 在 2 中要证明是定值 最关键的是通过所求的已知量明确表达出的坐标即可验证 变式训练 2012 南通模拟 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦 若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴 我们将该弦称之为曲线的垂轴弦 已知点p x0 y0 m m n 是圆锥曲线c上不与顶点重合的任意两点 mn是垂直于x轴的一条垂轴弦 直线mp np分别交x轴于点e xe 0 和点f xf 0 1 试用x0 y0 m n的代数式分别表示xe和xf 2 已知 若点p x0 y0 是圆c x2 y2 r2上的任意一点 x0 y0 0 mn是垂直于x轴的垂轴弦 直线mp np分别交x轴于点e xe 0 和点f xf 0 则xe xf r2 类比这一结论 我们猜想 若曲线c的方程为 a b 0 如图 则xe xf也是与点m n p位置无关的定值 请你对该猜想给出证明 解析 1 因为mn是垂直于x轴的一条垂轴弦 所以n m n 则lmp 令y 0 则同理可得 2 由 1 可知 m p在曲线c 上 则 定值 xe xf也是与点m n p位置无关的定值 直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立 通过讨论此方程组的实数解的组数来确定 即用消元后的关于x 或y 的一元二次方程的判别式 的符号确定 1 当 0时 直线与椭圆相交 2 当 0时 直线与椭圆相切 3 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 1 涉及弦长问题 常用 根与系数的关系 设而不求 利用弦长公式计算弦长 2 涉及求平行弦中点的轨迹 求过定点的弦中点的轨迹和被定点平分的弦所在的直线方程问题 常用 点差法 设而不求 3 将动点的坐标 弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 例3 2011 北京高考 已知椭圆g a b 0 的离心率为 右焦点为 0 斜率为1的直线l与椭圆g交于a b两点 以ab为底边作等腰 pab 顶点为p 3 2 1 求椭圆g的方程 2 求 pab的面积 解题指南 1 利用a b c的关系及离心率求出a b 代入标准方程 2 联立直线方程与椭圆方程 然后利用根与系数的关系 设而不求 整体代入 规范解答 1 由已知得c 解得又b2 a2 c2 4 所以椭圆g的方程为 2 设直线l的方程为y x m 由得 4x2 6mx 3m2 12 0 不妨设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 ab中点为e x0 y0 则 因为ab是等腰 pab的底边 所以pe ab 所以pe的斜率解得m 2 此时方程 为4x2 12x 0 解得x1 3 x2 0 所以y1 1 y2 2 所以 ab 此时 点p 3 2 到直线ab x y 2 0的距离所以 pab的面积 反思 感悟 1 求椭圆的标准方程 关键是根据题设条件 求a b的值 但一定要注意a b c三者之间的关系 2 本题的第二问求三角形的面积 其关键是确定三角形的底与高 本题的另一关键点是如何利用等腰三角形这一条件确定直线方程 变式训练 已知椭圆 a b 0 的焦距为 离心率为 1 求椭圆方程 2 设过椭圆顶点b 0 b 斜率为k的直线交椭圆于另一点d 交x轴于点e 且 bd be de 成等比数列 求k2的值 解析 1 由已知解得a 2 所以b2 a2 c2 1 椭圆的方程为 2 由 1 得过b点的直线为y kx 1 由得所以依题意k 0 k 因为 bd be de 成等比数列 所以 be 2 bd de 所以b2 1 yd yd 即 1 yd yd 1 当yd 0时 yd2 yd 1 0 无解 当yd 0时 yd2 yd 1 0 解得所以解得所以 当 bd be de 成等比数列时 满分指导 直线与椭圆综合问题的规范解答 典例 16分 2011 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 m n分别是椭圆的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于p a两点 其中p在第一象限 过p作x轴的垂线 垂足为c 连结ac 并延长交椭圆于点b 设直线pa的斜率为k 1 当直线pa平分线段mn时 求k的值 2 当k 2时 求点p到直线ab的距离d 3 对任意k 0 求证 pa pb 解题指南 本题考查的是直线与椭圆的位置关系 解决本题的关键是联立方程结合已知进行转化求解 规范解答 1 由题意知 a 2 b 故m 2 0 n 0 所以线段mn的中点的坐标为 1 由于直线pa平分线段mn 故直线pa过线段mn的中点 又直线pa过坐标原点 所以 4分 2 直线pa的方程为y 2x 代入椭圆方程得解得x 因此p a 于是c 0 直线ac的斜率为所以直线ab的方程为 8分因此 10分 3 设p x1 y1 b x2 y2 则x1 0 x2 0 x1 x2 a x1 y1 c x1 0 设直线pb ab的斜率分别为k1 k2 因为c在直线ab上 所以从而因此k1k 1 所以pa pb 16分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 连云港模拟 已知圆o x2 y2 2交x轴于a b两点 曲线c是以ab为长轴 离心率为的椭圆 其左焦点为f 若p是圆o上一点 连结pf 过原点o作直线pf的垂线交椭圆c的左准线于点q 1 求椭圆c的标准方程 2 若点p的坐标为 1 1 求证 直线pq与圆o相切 3 试探究 当点p在圆o上运动时 不与a b重合 直线pq与圆o是否保持相切的位置关系 若是 请证明 若不是 请说明理由 解析 1 因为a e 所以c 1 则b 1 即椭圆c的标准方程为 2 因为p 1 1 所以kpf 所以koq 2 所以直线oq的方程为y 2x又椭圆的左准线方程为x 2 所以点q 2 4 所以kpq 1 又kop 1 所以kop kpq 1 即op pq 故直线pq与圆o相切 3 当点p在圆o上运动时 不与a b重合 直线pq与圆o保持相切 证明 设p x0 y0 x0 1 则y02 2