高考数学 第二章 第十一节 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版 .ppt

第十一节导数在研究函数中的应用 1 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 则 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 单调递增 单调递减 常数函数 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值与极小值点若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在x a附近的左侧 右侧 则a点叫函数的极小值点 f a 叫函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值与极大值点 若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在x b附近的左侧 右侧 则b点叫函数的极大值点 f b 叫函数的极大值 极大值和极小值统称为极值 都大 f x 0 f x 0 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 1 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充要条件吗 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 它是可导函数在该点取得极值的什么条件 提示 不一定 如函数f x x3 在x 0处 有f 0 0 但x 0不是函数f x x3的极值点 对于可导函数 若x x0为其极值点 则需满足以下两个条件 f x0 0 x x0两侧的导数f x 的符号异号 因此f x0 0是函数y f x 在点x x0取得极值的必要不充分条件 答案 b 2 若函数f x x3 ax2 3x 9在x 3时取得极值 则a等于 a 2b 3c 4d 5 解析 f x 3x2 2ax 3 由题意知f 3 0 即3 3 2 2 3 a 3 0 解得a 5 答案 d 3 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图2 11 1所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 导函数f x 的图象与x轴的交点中 左侧图象在x轴下方 右侧图象在x轴上方的只有一个 故选a 答案 a 5 2012 陕西高考 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点 解析 f x xex f x ex xex ex 1 x 当f x 0时 即ex 1 x 0 即x 1 x 1时函数y f x 为增函数 同理可求 x 1时函数f x 为减函数 x 1时 函数f x 取得极小值 答案 d 2012 课标全国卷 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 思路点拨 1 分a 0和a 0两种情况解不等式f x 0与f x 0 2 分离参数k 转化为恒成立问题求解 尝试解答 1 f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 上单调递增 若a 0 则当x lna 时 f x 0 所以 f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 由 1 知 函数h x ex x 2在 0 上单调递增 而h 1 0 所以h x 在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当x 0 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得e 2 所以g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为2 1 解答本题 2 时 关键是分离参数k 把所求问题转化为求函数的最小值问题 2 1 在区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是 对 x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒为零 3 由函数f x 在 a b 上的单调性 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 要注意 是否可以取到 结合 式 可知 2 若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合 式 及a 0 得ax2 2ax 1 0在r上恒成立 所以二次方程1 ax2 2ax 0无解或有两个相同实数解 4a2 4a 0 即0 a 1 又 a 0 故实数a的取值范围是 0 1 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 特别注意 导数为零的点不一定是极值点 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 3 本题第 2 问求解的关键是转化 函数与方程 方程与不等式相互转化 2013 绍兴模拟 已知函数f x x3 ax2 b a b r 1 要使f x 在 0 2 上单调递增 试求a的取值范围 2 当a 0时 若函数满足y极大 1 y极小 3 试求y f x 的解析式 解 1 f x 3x2 2ax 依题f x 0在 0 2 上恒成立 即2ax 3x2 x 0 2a 3x 2a 6 a 3 即a的取值范围是 3 2012 北京高考 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a 3 b 9时 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为28 求k的取值范围 审题视点 1 求出两条切线方程比较系数求解 2 求出函数f x g x 在 2 上的变化情况 再确定k的范围 尝试解答 1 f x ax2 1 f x 2ax f 1 2a 又f 1 c a 1 f x 在点 1 c 处的切线方程为y c 2a x 1 即y 2ax a 1 0 g x x3 bx g x 3x2 b g 1 3 b 又g 1 1 b c g x 在点 1 c 处的切线方程为y 1 b 3 b x 1 即y 3 b x 2 0 依题意知3 b 2a 且a 1 2 即a 3 b 3 2 记h x f x g x 当a 3 b 9时 h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 h x 与h x 在 2 上的变化情况如下 由此可知 当k 3时 函数h x 在区间 k 2 上的最大值为h 3 28 当 3 k 2时 函数h x 在区间 k 2 上的最大值小于28 因此 k的取值范围是 3 1 本题 2 中函数解析式确定 但区间不定 因此可先求出函数取得极值与最值的情况 再确定符合要求的k值 2 求函数f x 在 a b 上的最值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的是一个最小值 2013 郑州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min f k 1 ek 1 当k 2时 f x min f 1 1 k e 函数最值是个 整体 概念 而函数极值是个 局部 概念 1 f x 0在 a b 上成立 是f x 在 a b 上单调递增的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 1 求单调区间时应先求函数的定义域 遵循定义域优先的原则 2 f x0 0时 x0不一定是极值点 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时应分类讨论 从近两年高考试题看 导数的应用是考查的热点 重点是利用导数研究函数的单调性 求极 最 值 题型全面 小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值 大题考查导数与函数单调性 极值与最值的关系 多与方程 一元二次不等式等知识交汇 体现转化思想 分类讨论思想的应用 同时应注意与导数有关的创新题 创新探究之二导数在比较大小中的创新应用 2012 浙江高考 设a 0 b 0 e是自然对数的底数 a 若ea 2a eb 3b 则a bb 若ea 2a eb 3b 则abd 若ea 2a eb 3b 则a b 解析 设f x ex 2x 则f x ex 2 0 从而f x 在r上是增函数 若ea 2a eb 3b 则 ea 2a eb 2b b 0 即f a f b 0 a b 设g x ex 2x 则g x ex 2