高中数学 3.1三角函数的概念配套课件 苏教版.ppt

第一节三角函数的概念 高考指数 1 角的有关概念 即时应用 1 思考 角 为锐角是角 为第一象限角的什么条件 提示 充分不必要条件 因为锐角为大于0小于的角 而第一象限角的范围为 2k 2k k z 2 判断下列说法是否正确 请在括号中填 或 第一象限角一定是锐角 小于90 的角一定是锐角 钝角一定是第二象限角 第一象限角一定不是负角 解析 不正确 如 390 不正确 如 0 正确 不正确 如 315 答案 2 弧度的概念与公式在半径为r的圆中 把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用1rad表示 弧长l 半径 r 即时应用 1 的度数为 2 半径为5的圆中长为10的弧所对的圆心角大小为 3 扇形的半径为2 圆心角为120 扇形面积为 解析 1 2 3 答案 1 15 2 2rad 3 3 任意角的三角函数 1 定义 在平面直角坐标系中 设 的终边上任意一点p的坐标是 x y 它与原点的距离是r r 0 规定 比值 叫做 的正弦 记作sin 即sin 比值 叫做 的余弦 记作cos 即cos 比值 x 0 叫做 的正切 记作tan 即tan 2 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在 上 余弦线的起点都是 正切线的起点都是 x轴 原点 1 0 即时应用 1 思考 如何用三角函数线比较三角函数值的大小 提示 三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 2 已知角 终边上一点m的坐标为 3 4 则sin cos tan 解析 答案 终边相同的角 方法点睛 终边相同的角的应用 1 与角 终边相同的角可表示为 360 k k z 利用这一关系可解决已知 所在的象限 求所在象限的问题 2 利用该关系时 一定是360 的整数倍与k k z 的乘积而不是其他数值 提醒 若出现180 k k z 时需对k的值讨论然后确定象限 例1 已知角 是第一象限角 确定2 所在的象限 解题指南 先依据 所在的象限借助终边相同角的表示 给出角 的范围 在此基础上求出及2 的范围 最终明确2 所在象限 规范解答 是第一象限角 k 2 k 2 k z k 4 2 k 4 k z 即2k 2 2 2k 2 k z 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 k k z 当k 2n n z 时 2n n z 的终边在第一象限 当k 2n 1 n z 时 2n 1 2n 1 n z 即2n 2n n z 的终边在第三象限 综上 的终边在第一象限或第三象限 反思 感悟 1 已知角 所在象限 应熟练地确定所在象限 2 在解决这类问题时一定要注意分类讨论思想的应用 而且要讨论全面 变式训练 已知角 是第二象限角 试确定所在的象限 解析 角 为第二象限角 2k 2k k z k z 当k 3n n z 时 n z 的终边在第一象限 当k 3n 1 n z 时 2n 2n n z 的终边在第二象限 当k 3n 2 n z 时 n z 的终边在第四象限 综上 的终边在第一象限 第二象限或第四象限 变式备选 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 解析 当 的终边重合时 k 2 k z 当 的终边互为反向延长线时 k 2 2k 1 k z 答案 k 2 k z或 2k 1 k z 弧度制的应用 方法点睛 弧度制的应用 1 引进弧度制后 实现了角度与弧度的相互转化 在弧度制下可以应用弧长公式 l r 扇形面积公式 计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷 方便 2 应用上述公式时 要先把角统一为用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解决问题时要先统一 例2 已知扇形的圆心角是 半径为r 弧长为l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长l 2 若扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面积 解题指南 1 可直接用弧长公式 但要注意用弧度制 2 可用弧长或半径表示出扇形面积 然后确定其取最大值时的半径和弧长 进而求出圆心角 3 可直接利用公式求解 规范解答 1 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以 10r r2 r 5 2 25 所以r 5cm时 s取得最大值25 此时l 10cm 2rad 3 设弓形面积为s弓 由题知 互动探究 将本例第 1 小题中的r 10cm改为扇形的弓形弦再求弧长l 解析 因为圆心角 60 所以 反思 感悟 1 弧度制下的弧长 扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系 2 在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理的利用圆心角所在的三角形 变式备选 扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦ab的长 解析 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 圆心角的弧度数为 则有由得 2 ab 2sin1 cm 三角函数的定义 方法点睛 1 三角函数定义的理解在直角坐标系xoy中 设p x y 是角 终边上任意一点 且 po r 则 2 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点p的坐标 则可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 例3 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解题指南 在直线上设出点 求出所设点到原点的距离 求得三角函数值 因为所设点可在不同象限 所以需要讨论 规范解答 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点p 4t 3t t 0 则x 4t y 3t 当t 0时 r 5t 当t 0时 r 5t 反思 感悟 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的区别 联系及实质 1 区别 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标的比来定义的 2 联系 锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例 它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质 3 实质 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 变式训练 已知角 的终边经过点p m m 0 且sin 试判断角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由题意 得 m 0 故角 是第二或第三象限角 当 当 变式备选 已知角 的终边过点 a 2a a 0 求 的三角函数值 解析 因为角 的终边过点 a 2a a 0 所以 a x a y 2a 当a 0时 易错误区 三角函数定义的应用误区 典例 2011 江西高考 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若p 4 y 是角 终边上一点 且sin 则y 解题指南 根据三角函数定义列出等式求出y 规范解答 答案 8 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 上海高考改编 若三角方程sinx 0与sin2x 0的解集分别为e f 则集合e f的关系为 解析 因为sinx 0 sin2x 0 所以角x和角2x的终边都在x轴上 所以e x x k k z f x x k z