河北省保定市物探中心学校第四分校高中数学一轮复习 数学归纳法及其应用课件 新人教A版.ppt

数学归纳法及其应用举例 3 zxxk zxxk 数学归纳法及其应用举例 课题引入 观察 6 3 3 8 5 3 10 3 7 12 5 7 14 3 11 16 5 11 78 67 11 我们能得出什么结论 任何一个大于等于6的偶数 都可以表示成两个奇质数之和 哥德巴赫猜想 教师根据成绩单 逐一核实后下结论 全班及格 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 通常叫做归纳法 不完全归纳法 完全归纳法 数学归纳法及其应用举例 新授课 1 在等差数列中 已知首项为 公差为 数学归纳法及其应用举例 新授课 数学归纳法及其应用举例 新授课 2 假设当n k时等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 数学归纳法及其应用举例 新授课 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是 1 证明当取第一个值 如或2等 时结论正确 2 假设时结论正确 证明时结论也正确 递推基础 递推依据 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 数学归纳法及其应用举例 例题讲解 例1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当时 等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 例2 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 求证交点的个数为 假设n k k 2 时命题成立 即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数 当平面内有k 1条直线时 任了其中的一条直线 记为l 由归纳假设 除l外的其他k条直线的交点个数为 任何两条直线不平行 直线l必与平面内其它k条直线都相交 有k个交点 又 已知任何三条直线不过同一点 上面的k个交点两两不相同 且与平面内的其它 个交点也两两不相同 从而平面内交点的个数是 例2 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 求证交点的个数为 变形1 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 线段的条数为bn 射线的条数为cn 求bn cn的表达式变形2 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 这n条直线将平面分成的平面区域的块数为g n 求g n 变形3 平面内有n个圆 任何两个圆都相交于两点 任何三个圆都不过同一点 这n个圆将平面分成f n 个部分 求f n cn 2n bn n n 2 f n n2 n 2 证明 1 当n 1时 x2n y2n x2 y2 x y x y 所以 x y x y 能被x y整除 2 假设n k时 x2k y2k能被x y整除那么x2 k 1 y2 k 1 x2kx2 y2ky2 x2 x2k y2k x2y2k y2ky2 x2 x2k y2k y2k x2 y2 x2k y2k能被x y整除 x2 y2能被x y整除 x2 x2k y2k y2k x2 y2 能被x y整除即x2 k 1 y2 k 1 能被x y整除由 1 2 知x2n y2n能被x y整除变形 n为什么自然数时x2n y2n能被x y整除 例3 求证 x2n y2n能被x y整除 证明 1 当n 1时 11n 2 122n 1 113 123 23 133 23 133能被133整除 即n 1时命题成立 2 假设n k时 11k 2 122k 1能被133整除那么11 k 1 2 122 k 1 1 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 122k 1 11 122k 1 122 122k 1 11 11k 2 122k 1 122k 1 144 11 11 11k 2 122k 1 122k 1 133由归纳假设知11k 2 122k 1及122k 1 133都能被133整除 11 k 1 2 122 k 1 1能被133整除 即n k 1时命题也成立由 1 2 可知命题对一切自然数n都成立 例4 用数学归纳法证明 对任意自然数