高三数学一轮复习 第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 新人教A版 .ppt

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n m n 1 区分 分类 和 分步 的依据是什么 提示 能否独立完成这件事是区分 分类 还是 分步 的依据 2 两个原理中对 完成一件事 的要求有什么不同 提示 分类加法计数原理中 每一类办法中的每一种方法都能独立 完成一件事 分步乘法计数原理中 只有几步全部完成 才算 完成一件事 1 人教a版教材习题改编 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单 开演前又增加了3个新节目 如果将这3个新节目插入节目单中 那么不同的插法种数为 a 504b 210c 336d 120 解析 分三步 先插一个新节目 有7种方法 再插第二个新节目 有8种方法 最后插第三个节目 有9种方法 故共有7 8 9 504种不同的插法 答案 a 2 在某种信息传输过程中 用4个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 a 10b 11c 12d 15 答案 b 3 2012 大纲全国卷 6位选手依次演讲 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲 则不同的演讲次序共有 a 240种b 360种c 480种d 720种 解析 答案 c 4 4 从4名男生 2名女生中 选2人参加某项活动 至少有一名女生参加的选法有 种 答案 9 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友一本 则不同的赠送方法共有 a 4种b 10种c 18种d 20种 思路点拨 由于是两类不同的书本 故用分类加法计数原理 答案 b 1 本题常见错误 忽视相同画册 相同集邮册条件 错用排列计算 找不准分类标准 求解的关键在于抓住赠送画册的本数进行分类 2 分类标准是运用分类计数原理的难点所在 重点在于抓住题目中的关键词或关键元素 关键位置 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准 其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 如图10 1 1所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有 个 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有8 个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 答案 40 2012 大纲全国卷 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 a 12种b 18种c 24种d 36种 思路点拨 先排第一列三个位置 再排第二列第一行上的元素 则其余位置上元素就可以确定 答案 a 1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且也要确定分步的标准 分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 1 步骤互相独立 互不干扰 2 步与步确保连续 逐步完成 已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b c m 则 1 y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数 2 y ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数 解 1 a的取值有5种情况 b的取值有6种情况 c的取值有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180个不同的二次函数 2 y ax2 bx c的开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72个图象开口向上的二次函数 如图10 1 2所示 用四种不同颜色给图中的a b c d e f六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有 a 288种b 264种c 240种d 168种 思路点拨 解答本题应注意两点 1 每一个点都有可以和它同色的两个点 2 涂色的顺序不同影响解题的难度 可先涂a d e 再分类涂b f c 尝试解答 先涂a d e 共有4 3 2 24种涂法 然后再按b c f的顺序涂色 分为两类 一类是b与e或d同色 共有2 2 1 1 2 8种涂法 另一类是b与e和d不同色 共有1 1 1 1 2 3种涂法 故涂色方法共有24 8 3 264种 答案 b 1 给b c f涂色时 在每一类下又有两种情况 应切实掌握好分类的标准 分清哪些可以同色 哪些不同色 2 用两个计数原理解决计数问题时 关键是明确需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 只有完成了所有步骤 才完成任务 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 2013 深圳调研 如图10 1 3 用4种不同的颜色对图中5个区域涂色 4种颜色全部使用 要求每个区域涂一种颜色 相邻的区域不能涂相同的颜色 则不同的涂色种数有 答案 96 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终 1 分类加法计数原理中 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类 2 分步乘法计数原理中 各个步骤相互依存 在各个步骤中任取一种方法 构成完成这件事的一种方法 简单的说步与步之间的方法 相互独立 多步完成 1 分类时 标准要明确 应做到不重不漏 2 分步时 要合理设计顺序 步骤 并注意元素是否可以重复选取 从近两年高考试题看 两个计数原理是高考考查的热点 一般与排列 组合等知识结合 考查分类讨论的数学思想 主要涉及数字问题 几何问题 涂色问题 有时也出现与其它知识相结合的新定义题型 创新探究之十二与计数原理有关的新定义题 2012 江苏高考 设集合pn 1 2 n n n 记f n 为同时满足下列条件的集合a的个数 a pn 若x a 则2x a 若x pna 则2x pna 1 求f 4 2 求f n 的解析式 用n表示 解 1 当n 4时 符合条件的集合a为 2 1 4 2 3 1 3 4 故f 4 4 2 任取偶数x pn 将x除以2 若商仍为偶数 再除以2 经过k次以后 商必为奇数 此时记商为m 于是x m 2k 其中m为奇数 k n 由条件知 若m a 则x a k为偶数 若m a 则x a k为奇数 创新点拨 1 以集合的概念和运算为背景 求解计数问题 2 一题两问 体现由特殊到一般的数学思想 考查归纳 抽象概括能力 防范措施 1 通过阅读 分析 弄清新定义 弄清利用新定义所解决的问题 如本题中f n 表示集合a的个数 且集合a满足三个条件 2 从特殊情形入手 通过分析 归纳 发现问题中隐含的一些本质特征和规律 然后再推广到一般情形 必要时可以多列举一些特殊情形 使规律方法更加明确 1 2012 课标全国卷 将2名教师 4名学生分成