2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制讲义新人教A版.docx

5.1.2弧度制知识点一度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位联系(1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化知识点二弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数(2)负角：负角的弧度数是一个负数(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.知识点三角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度3602_rad2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同知识点四扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.教材解难弧长公式、扇形的面积公式的应用运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是为弧度制；在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：l|R，|，R.S|R2，|.基础自测1下列各种说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C根据弧度的定义，180的角一定等于 rad的角D利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.答案：D2将864化为弧度为()A.B.C. D.解析：864864，故选C.答案：C35弧度的角的终边所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为52，因此5弧度的角的终边在第四象限答案：D4扇形圆心角为216，弧长为30，则扇形半径为_解析：216216，lrr30，r25.答案：25题型一角度与弧度的换算教材P173例4例1按照下列要求，把6730化成弧度：(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值解析：(1)因为6730，所以6730rad rad.(2)利用计算器有1178 097 245.因此，67301.178 rad.角度与弧度的换算只要记住一个公式：.据此可推出n nrad，rad.教材反思进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟踪训练1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：1，2，39，4855.(2)把下列各角化为2k(02，kZ)的形式：，315，.解析：(1)1180282.86；218015 330；399515.66；4855855.(2)4；315360452；2.(1)180 rad是进行“弧度”与“角度”换算的关键(2)表示成2 k(02，kZ)的形式，调整k使角在0,2)内题型二用弧度制表示角的集合经典例题例2已知角2 005.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角【解析】(1)2 0052 005 rad radrad，又，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)内与终边相同的角是，.(1)用弧度数表示与角终边相同的角连同角在内的集合为|2k，kZ(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并.方法归纳用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解析：对于题图(1)，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所求集合为.对于题图(2)，同理可得，所求集合为2k2k，kZ2k2k，kZ.本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.题型三与扇形弧长、面积相关的问题经典例题例3(1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A.B.C.D2(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.(2)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得所以圆心角2.如图，过点O作OHAB于点H，则AOH1 rad.所以AH1sin 1sin 1(cm)，所以AB2sin 1(cm)，所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.【答案】(1)C(2)见解析(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是ar，再求.(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解方法归纳扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlRR2(其中l是扇形的弧长，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为120，半径为 cm，则此扇形的面积为_ cm2；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解析：(1)设扇形弧长为l，因为120120 rad(rad)，所以lR(cm)所以SlR(cm2)故填.(2)设扇形圆心角的弧度数为(02 rad舍去当R4时，l2(cm)，此时，(rad)综上可知，扇形圆心角的弧度数为rad.求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用课时作业 28一、选择题11 920的角化为弧度数为()A. B.C. D.解析：1rad，1 9201 920rad rad.答案：D2将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B.C D解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故转过的角的大小应为圆周的，故所求角的弧度数为2.答案：C3把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()A B2C D解析：22(1).答案：A4一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是()A1 B2C3 D4解析：设扇形的圆心角的弧度数为，半径为R，由题意，得，解得3，故选C.答案：C二、填空题5下列四个角：1,60，由大到小的排列为_解析：只需把60化成弧度数，因为6060，所以四个角为1，.所以601.答案：6016若三角形三内角之比为345，则三内角的弧度数分别是_解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k4k5k，得k，所以3k，4k，5k.答案：，7弧长为3，圆心角为135的扇形的半径为_，面积为_解析：135，所以扇形的半径为4，面积为346.答案：46三、解答题8将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解析：(1)20.(2)15.(3)()(180)105.(4)()(180)396.9如图，扇形OAB的面