（基础数学专业论文）偏泛函微分方程关于非平凡解的振动性.pdf

偏泛函微分方程关于非平凡解的振动性 基础数学 研究生黄泽娟指导教师李树勇教授 论文摘要：本文研究了三类偏泛函微分方程关于非平凡解的振动性第二章讨论 了一类非线性时滞抛物型方程解关于非常数平衡态的振动性问题借助一阶时滞微 分不等式及特征方程解的性质，使用平均法原理，建立起这类方程在三类不同边界 条件下，关于其平衡态振动的若干充分条件通过一个例子，说明文中结论的有效 性第三章研究了一类非线性多时滞抛物型方程组的振动性问题，利用平均法和垂 直相加法，借助s g n 函数，g r e e n 公式，l i p s c h i t s 条件，以及l a g r e n g e 中值定理， 把抛物型方程组的振动性问题转化为微分不等式是否存在最终正解的问题，进而分 别在三类边界条件下得到其所有解关于非常数平衡态振动的充分条件第四章研究 了一类非线性双曲型方程关于非常数平衡态的振动性，利用g r e e n 函数去掉扩散 项，且将二阶微分不等式化为一阶微分不等式，得到三类边界条件下所有解关于非 常数平衡态振动的充分条件 关键词：时滞；平衡态；抛物型方程；双曲型方程；非线性；振动性 o s c i l l a t i o na b o u tn o n t r i v i a ls o l u t i o no fp a r t i a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：h u a n gz e j u a n s u p e r v i s o r ：l is h u y o n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r o s c i l l a t i o no fs o l u t i o na b o u tn o n t r i v i a ls o l u t i o n f o rt h r e ec l a s s e so fp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d i n c h a p t e rt w o ，o s c i l l a t i o no fs o l u t i o na b o u tn o n - t r i 、r i a ls t e a d ys t a t ef o ran o n l i n e a r d e l a yp a r a b o l i ce q u a t i o n sa r ed i s c u s s e d b yt h ef i r s to r d e rd e l a yd i 髓r e n t i a l i n e q u a l i t i e sa n de i g e n v a l u ep r o b l e m ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc r i t e r i ao fo s c i l l a t i o n o ft h ee q u a t i o na b o u tt h en o n - t r i v i a le q u i l i b r i u ma r eo b t a i n e du n d e rt h r e e d i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s o n ee x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ea p p l i c a b i l i t y o ft h ep r o p o s e da p p r o a c h i nc h a p t e rt h r e e ，t h eo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sa b o u t n o n - t r i v i a ls t e a d ys t a t ef o rt h es y s t e m so fan o n l i n e a rd e l a yp a r a b o l i ce q u a t i o n s a r ei n v e s t i g a t e d b yu s i n ga v e r a g i n gm e t h o d ，v e r t i c a la d d i n g ，s g nf u n c t i o n ， g r e e n sf o r m u l a ，l i p s c h i t sc o n d i t i o na n dl a g r a n g em e a nv a l u et h e o r e m ，t h e o s c i l l a t o r yp r o b l e m sf o rt h es y s t e m so fp a r a b o l i ce q u a t i o n sa l er e d u c e dt ot h e p r o b l e mt h a tt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yh a se v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no rn o t m o r e o v e r s o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i u a t i o na b o u tn o n - t r i v i a ls t e a d y s t a t eo fa l ls o l u t i o n sa r er e s p e c t i v e l yo b t a i n e du n d e rt h r e eb o u n d a r yv a l u e c o n d i t i o n s i nc h a p t e rf o u r o s c i l l a t i o no fs o l u t i o na b o u tn o n t r i v i a ls t e a d vs t a t e f o ran o n l i n e a rd e l a yh y p e r b o l i ce q u a t i o n sa r es t u d i e d r e m o v i n gt h er e a c t i o n - d i f f u s i o nb yu s i n gg r e e n sf o r m u l a ，a n dt u r n i n gt h es e c o n d o r d e rf u n c t i o n a l d i 船r e n t i a li n e q u a l i t i e si n t of i r s t o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s s o m e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o na b o u tn o n - t r i v i a ls t e a d ys t a t eo fa l ls o l u t i o n s a r er e s p e c t i v e l yo b t a i n e du n d e rt h r e eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s k e yw o r d s ：d e l a y ；s t e a d ys t a t e ；p a r a b o l i ce q u a t i o n ；h y p e r b o l i ce q u a - t i o n ；n o n l i n e a r ；o s c i l l a t i o n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师奎挝复数援指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检索； 2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：童i 季姻 导师签名：考杏寸乌 签字日期：2 0 1 0 年上月io 日签字日期洲。年厂月【0 日 第一章引言 二十世纪以来，在自然科学和社会科学的许多学科领域中涌现出大量的时 滞动力系统问题，如核物理学、电路信号系统、化工循环系统、生态系统、动 物与植物的循环系统、遗传问题、流行病学、商业销售问题、资本主义经济周 期性危机、财富分布理论、运输调度问题、工业生产管理、自动控制系统等 等通常，我们使用时滞微分方程作为刻化这些问题的数学模型来反映事物的 变化规律其中，含时滞的偏微分方程能较为全面地反映事物的时间特性和空 间特性，以及描述系统的变化规律，更引起工程技术人员和数学工作者的重视 和广泛关注自上个世纪7 0 年代以来，由于动力系统、半群理论、线性和非线 性泛函分析、常微分方程和偏微分方程、以及泛函微分方程等理论的发展，人 们将偏差变元引入时滞偏微分方程研究中，极大地推动了时滞偏微分方程的理 论研究和应用近4 0 年来，学者们从线性到超( 次) 线性、非线性，把时滞偏微分 方程的发展由一阶转向了高阶、由时滞的离散分布转向连续分布，使得时滞偏 微分方程在解的存在性，稳定性，有界性，周期性，振动性，渐进性，吸引性，行波 解，分岔问题等许多方面开展研究，获得许多重要的结果f 1 】1 振动理论作为时滞偏微分方程定性理论的一个重要内容，在近3 0 年中有迅 速的发展8 0 年代初，由于时滞偏微分方程的基本理论已经开始建立，为振动性 研究奠定了基础1 9 8 5 年，k k r e i t h ，g l a d a s 2 1 研究了一类常时滞抛物型方程 的振动性问题他们从实际问题出发，将扩散过程 u t = o ) z p ( z ，t ) u + 口( z ，t ) u 推广为形如 u t = 口( 亡) 霉一p ( x ，t ) u ( x ，t 一仃) + q ( x ，t ) u ( x ，t p )( 1 1 ) 的时滞抛物型方程，其中仃，p 是非负常数，且d ( 亡) ，p ( x ，t ) ，g ( z ，t ) 都是非负连续 函数，文中利用微分不等式性质，使用直接积分的方法，建立了振动的充分条件 1 9 8 6 年，n y o s h i d a a 】讨论了如下一类非线性抛物型方程 u t = a ( t ) a u q ( x ，t ) y ( u ( z ，盯( t ) ) ) ，( 1 2 ) 在有界区域q 上解的振动性，并给出了解振动的充分条件1 9 8 7 年，n y o s h i d a n 第l 页，共2 8 页 第一章引言 又研究了时滞非线性抛物型方程的强迫振动的情形1 9 8 8 年，m i s h e v 和b a i n o v 5 】 在n y o s h i d a 研究工作上，讨论了一类线性中立型抛物方程 袅阻( z ，t ) 一九( 亡) u ( z ，t 一兀) = a ( t ) a u + a i ( t ) a u ( x ，t p i ) 忙1 仁1 ( 1 3 ) - 詹 - p ( x ，t ) u ( x ，t ) 一p i ( x ，t ) 札( z ，t 一仉) ，( z ，t ) q 【0 ，+ o o ) 在d i r i c h l e t 和r o b i n 边界条件下解振动的充分条件 1 9 9 1 年，b a i n o v 和m i s h e v b 利用平均法，把偏泛函微分方程的振动性问题 转化为讨论时滞微分不等式有无最终正解的问题这对偏泛函微分方程以后的 发展有着深远的影响( 见【6 】【17 】) 崔宝同、李伟年【1 0 】研究了变时滞抛物型方 程 番乱( z ，t ) = o ( ) 钆( z ，t ) + a k ( t ) a u ( x ，t p k ( t ) ) m 脚 ( 1 4 ) 一q j ( t ) u ( x ，t 一 ) ) ，( z ，t ) q 【0 ，o o ) ， j = l 的振动性，他们利用特征函数，借助一阶微分不等式没有最终正解，给出了解振 动的充要条件后来，i k u b i a c z y k a 和s h s a k e r a 1 1 】又研究了当( 1 4 ) 为常时滞 时的情况，文中利用时滞微分方程的振动性，得到抛物型方程在三类边界条件 下解振动的充分条件王培光，葛谓高【1 2 】利用特征函数、g r e e n 函数以及函数 y ( u 1 的凸性讨论了带连续时滞的抛物型方程 饥( z ，t ) = a ( t ) a u ( x ，t ) + a i ( t ) a u ( x ，兀( 舌) ) 一p ( x ，t ) u ( x ，t ) 仁1 ( 1 5 ) 一r g ( z ，t ，) ，( 陋，g ( t ，专) 】) d 盯( ) + h ( x ，t ) ，( z ，t ) q j 2 + 在三类边界条件下的强迫振动性 同时，袁扬，刘伟安【1 3 】讨论了一类拟线性多滞量中立型抛物方程组 袅 札i ( z ，t ) 一( ) 乱i ，t 一办) 】q - p i ( x ，t ) 蚴( z ，t ) + q i k ( x ，) 乱蠡 ，t 一盯) = a i ( t ) h i ( u i ( x ，t ) ) a u i ( z ，t ) + a i j ( t ) h i j ( u ( x ，t 一勺( ) ) ) ( z ，t 一乃 ) ) ， j = l ( 1 6 ) 解的振动性质，利用符号函数和函数u t 磁( 地) 0 ，u i h ；j ( 饥) 0 ，以及空间平均 法和垂直相加法，把问题转化为一阶微分不等式没有最终正解的问题，获得了 第2 页，共2 8 页 第一章引言 判别其解振动的充分条件，表明了时滞量对方程振动性的影响 此外，一些学者从具体生态方程入手，研究生态系统解的振动性质冯秋 香，燕居让【1 8 l 讨论了带有多个滞后变量的n i c h o l s o n sb l o w f i l e s 模型的全局吸引 性和振动性王晓，李志祥【19 】在文【18 】的基础上研究了此类多时滞n i c h o l s o n 8 b l o w f l i e s 模型含扩散项的情形 1 0 n ( 厂x , t ) ：( 州) - - 5 n ( t , x ) + 壹p i n ( t - t i , x ) e 一州细劫 ( 1 7 ) 。 i = 1 在d r i c h l e t 边界条件下，且初始值为非负情况时，通过对多元函数解曲线或曲面 结构的分析和构造上下解，得到了其解关于正常数平衡态振动的充分条件 另一方面，一些学者考虑脉冲的影响，进一步研究了脉冲时滞抛物型偏微分 方程的振动性例如，傅希林等俐研究了时滞脉冲抛物型方程 ju t _ 口( 。) 钍+ 6 ( 。) 钆( t p ，z ) 一p ( z ，t ) ，( t 一盯，z ) ) ，芒，( 1 8 ) 【u ( j ，z ) 一u ( t i ，z ) = i ( t ，z ，让) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， 、7 的振动性，借助了特征函数、特征值，以及函数f ( u ) 的凸性，把抛物型方程的振 动性问题转化为了脉冲微分不等式没有最终正解的问题，得到了两类边界条件 下振动的判别准则李伟年，燕居让，邓立虎等人【2 1 】一【矧在此方面也有许多结果 此外，关于时滞双曲型偏微分方程的研究也有许多成果，如文f 2 4 1 一【3 0 】何 猛省，刘安平俐利用特征函数，g r e e n 函数和函数的凸性研究了一类非线性双 曲型方程 u t t = o ( 亡) u + ( t ) u ( 亡一乃( 亡) ，z ) 。 歹一 ( 1 9 ) n 一k ( 亡，z ) ( 乱( 亡一a k ( t ) ，z ) ) ，( t ，z ) r + q k = l 在r o b i n 和d i r i c h l e t 边界条件下解振动的充分条件李伟年等【2 5 】利用对非线性 项进行放缩的思想研究了一类时滞双曲型微分方程组 器u i ( x ，t ) = a i k ( t ) a u k ( x ，t ) + b i k ( t ) a u k ( x ，死七( t ) ) k = lk = l 一龟( z ，t ，u ( z ，t ) ，u ( x ，盯七( t ) ) ) ( 1 1 0 ) 2 。 一e 吼 ( z ，t ，) u t ( z ，g h ( t ，) ) 如( ) + 五( 。，t ) ， 的强迫振动性，得到了所有解振动的充分条件同时，傅希林，崔宝同等【2 7 】一【2 8 】 第3 页，共2 8 页 第一章引言 在脉冲条件下利用特征函数和凸函数的性质研究了许多双曲型方程振动性问 题 上述振动性均是关于常数平衡态而振动的对于抛物型、双曲型偏微分 方程而言，非常数平衡态具有十分重要的地位，对其稳定性的研究已有不少结 果【3 1 卜【3 3 】3 3 但是，解关于非常数平衡态振动的研究却很少见在d r i c h l e t 边界条 件时，许多系统具有非零正平衡刹叫研究这种振动性具有现实意义事实上， 对于含时滞的线性偏微分方程，通过一个变换( v = 缸一w ) ，可化为等价含时滞 的零平衡态振动性，但对非线性含时滞的偏微分方程，就没有这么幸运，对其关 于非常数平衡态振动的研究更加困难本文中，我们试图对这一问题开展一些 讨论本文将在第二章讨论一类非线性时滞抛物型方程解关于非常数平衡态的 振动性问题。借助一阶时滞微分不等式及特征方程解的性质，使用平均法原理， 建立起这类方程在三类不同边界条件下，关于其平衡态振动的若干充分条件 通过一个例子，说明文中结论的有效性第三章研究了一类非线性多时滞抛物 型方程组的振动性问题，利用平均法和垂直相加法，借助s g n 函数，g r e e n 公式， l i p s c h i t s 条件，以及l a g r e n g e 中值定理，把抛物型方程组的振动性问题转化为 微分不等式是否存在最终正解的问题，进而分别在三类边界条件下得到其所有 解关于非常数平衡态振动的充分条件第四章研究了一类非线性双曲型方程关 于非常数平衡态的振动性，利用g r e e n 函数去掉扩散项，且将二阶微分不等式 化为一阶微分不等式，得到三类边界条件下所有解关于非常数平衡态振动的充 分条件 第4 页，共2 8 页 第二章一类非线性时滞抛物型方程关于平衡态的振 动性 考虑如下一类非线性时滞抛物型微分方程： t a u ( t , x ) = a a u ( t ，z ) + 妻钍0 一乃，。) + c ) 乱( t ，z ) m 一 n ( 2 1 1 ) mn 、 一鼽( z ) 缸( t 一瓦，z ) + ( z ) 办( u 一乃，z ) ) ， i = l j = l 其中( t ，x ) r + q ，是形的n 维l a p l a c e 算子，qc 形是具有光滑边界 a q 的有界区域，a 0 ，鼽( z ) 0 ，死，乃【0 ，+ o 。) ，i = 1 ，m ，j = 1 ，佗 具有如下边界条件： b u = 9 ( z ) ，( t ，z ) j “a q ( 2 1 2 ) 这里b u = q 舄+ p ( z ) t ，( z ) o o 其中，q ，o ( x ) 分别取值如下： ( 1 ) q = 0 ，p ( z ) = l ； ( 2 ) q = 1 ，p ( z ) = 0 ； ( 3 ) q = l ，p ( z ) o 和初值条件： 乱( 口，x ) = ( 口，z ) ， ( 口，x ) 【- - p ，0 ) q ( 2 1 3 ) 其中表示a q 的单位外法向量，z ( x ) 是非负连续函数，丁= m a x r x ，) ， 盯= m a , x ( o l ，a n ，p = m a , x ( t ，仃) 关于方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 解的存在性可参见文 1 】 文中，记 9 5 搿9 ( z ) ，旷。卿夕( z ) 第5 页，共2 8 页 第二章一类非线性时滞抛物型方程关于平衡态的振动性 2 1 基本知识和假设 假设问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 存在平衡态叫( z ) ，即 l ( n + b y , w ( x ) - 4 - ( c ) 一仇 ) ) 彬( z ) + 劬( z ) 办( ( z ) ) = 0 ，z q ， 1 j - 1 任1 j - 1 ib w ( x ) = 夕( z ) ，z a q ( 2 1 4 ) 定义2 1 1 称问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解u ( 厶z ) 在r + q 内关于其平衡态 w ( x ) 振动若对任意t 0 ，存在点( t o ，x 0 ) 【t ，o o ) q ，使得u ( t o ，x 0 ) = 训( z o ) 否则，称u ( t ，z ) 关于w ( x ) 是非振动的 引理2 1 1 i s s 假设成立 酬一n 口：f ( s ) e x p ( ( n p ( u 川幽 ；1 ， ( 2 1 5 ) 其中p ( 亡) ，吼( ) 0 ，i = l ，n ，则有 ( 1 ) 一阶时滞微分方程矿( 舌) + p ( t ) y ( 亡) - 4 - q i ( t ) y ( t 一瓦) 0 无最终正解； ( 2 ) 一阶时滞微分方程秒他) + p ( t ) ( t ) + q i ( t ) y ( t 一凡) 0 无最终负解 引理2 1 2 1 3 6 1 设知是如下特征问题 妒+ 入妒= o ， z q ， ( 2 1 6 ) 【b e = 0 ， z a 5 2 ， 、。 的最小特征值，圣( z ) 是相应的特征函数，那么入o 0 ，垂( z ) 0 ，z q ，其中 b e = 妒，或者b e = 雾+ p ( z ) 妒，p ( z ) 0 2 2 主要结论 定理2 2 1 假设成立条件 ( a 1 ) 乃c 1 ( 冗，r ) ，且当让0 时，( u ) i 1 则在b u = 让时，方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的所有解关于平衡态w ( x ) 振动 证明假设问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 存在非振动解u ( t ，z ) ，即存在一个t 0 ， 当( t ，z ) 【t ，) q 时，或者恒有u ( t ，z ) 叫( z ) ，或者恒有u ( t ，z ) 伽 ) 时，此时不妨亦设u ( t 一气，z ) 幻( z ) ，札( 一，z ) 伽( z ) ，i = 1 ，m ，j = 1 ，n 令v ( t ，z ) = u ( t ，z ) 一伽( z ) 0 ，( ，z ) 阢o 。) q ，代入( 2 1 1 ) ，有 掣= 啪吣，卅酬圳+ 杰雄吣一咿) + 酬圳+ c ( 州婶，z ) + 加( z ) ) 一蚤鼽( z ) ( u ( 飞z ) + 叫( z ) ) + 暑劬( z ) 删一乃，2 ) ) ， 由( 2 1 4 ) 得 必o t ：。 ( ，z ) + 妻b u 一，z ) + c ( z ) ( t ，z ) j = l f 7 i 一鼽 ) 口( 一死，z ) i = 1 n + q j ( x ) f f j ( 孔( t 一乃，z ) ) 一办( 叫( z ) ) ) ， j = l 由l a g r a n g e 中值定理知，存在介于叫( z ) 与u 一乃，z ) 之间的善，使得 幽o t= n u ( t ，z ) + 妻如u 一乃，z ) + c ) u ( t ，。) j = l 由( a 1 ) 、( a 2 ) 得 m 一p i ( x ) v ( t 一死， i = i z ) + 善劬( z ) 删u ( t 一乃，z ) 幽0 tn 钉( 亡，z ) + 量u ( 一乃，z ) + c ( z ) 口( t ，z ) j = l m 一肌( z ) u ( 一t i ，z ) + i = 1 n 劬( z ) m j v ( t a j ，z ) j = l n a a v ( t ，z ) + ( 一乃，z ) + 铡 ，z ) j = l ( 2 2 1 ) 一渊e p * u ( 。一兀，z ) + j e ：1 q j m j ( t 一乃，z ) 在( 2 2 1 ) 式两边乘以( 2 1 6 ) 的特征函数圣( z ) ，并关于z 在q 上积分，得到 番厶u ( t ，z ) 垂( z ) 如sn 厶u ( ，z ) 圣( z ) 出+ 妻厶 ( 一乃，z ) 圣p ) d x j = l + c 厶u ( ，z ) 量o ) d x 一至拼厶u 一亿，z ) 西 ) d x + 善劬坞矗 ( 一乃，z ) 圣( 蛐 第7 页，共2 8 页 第二章一类非线性时滞抛物型方程关于平衡态的振动性 由g r e e n 公式及引理2 1 2 ，当t t 时，有 f aa v ( t ，z ) 西( z ) d z = 厶n 圣( z ) 器d s 一如帆口掣d s + f nv a 圣( x ) d x = j qv a a 2 ( x ) d x = 一入oj 五v ( t ，z ) 垂( z ) 如， a v ( t 一，z ) 西( z ) 如= 一a o u 一勺，z ) 西( z ) d z ，q，n 令v ( t ) = 厶西 ) 如r 1 矗v ( t ，z ) 垂( z ) 如，则v ( t ) 是 y 7 ( ) + ( a o 口一c ) y ( 右) + p ；v ( t - n ) + ( a o 如一劬坞) y ( 一乃) 0 ( 2 2 2 ) i = l j = l 的最终正解而由( a 2 ) ( a 3 ) 和引理2 1 1 知( 2 2 2 ) 式无最终正解，矛盾 情形2 ：当( t ，z ) i t , o 。) q ，锃( 芒，z ) 。1 则在b 让= u 时，方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的所有解关于平衡态w ( x ) 振动 利用引理2 1 1 和引理2 1 2 ，类似定理2 2 1 与定理2 2 2 ，可得如下结果 定理2 2 3 若条件( a 1 ) 一( a s ) 成立，则在b u = 券+ p ( z ) 钆，p ( z ) 0 时， 方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的所有解关于平衡态w ( x ) 振动 定理2 2 4 若条件( 风) 一( 风) 成立，则在b 钍= 券+ 卢( z ) 钍，p ( z ) 0 时， 方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的所有解关于平衡态w ( x ) 振动 定理2 2 5 假设条件( 皿) 成立，c ( x ) 0 ，劬( z ) 0 ，且有 p * r ie x p ( 一c n ) 一q j n j a je x p ( 一) i 1 ， ( 2 2 3 ) i = 1 j = l 。 则在b u = 嘉时，方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的所有解关于平衡态w ( x ) 振动 证明假设问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 存在非振动解u ( t ，z ) ，即存在一个t 0 ， 当( t ，z ) i t ，o 。) q 时，或者恒有u ( t ，z ) ( z ) ，或者恒有u ( t ，z ) 叫( z ) 时，此时不妨亦设钍 一瓦，z ) 叫( z ) ，札( 一乃，z ) 伽( z ) ，i = 1 ，m ，j = 1 ，佗 令v ( t ，z ) = u ( t ，z ) 一叫( z ) 0 ，( t ，z ) 【t ，) q ，代入( 2 1 1 ) ，利用( 2 1 4 ) ， 有 幽o t 2 n 啦，z ) + 三口( 。一乃，z ) + c ( z ) ( ，z ) 一吾鼽( 咖( 亡一 ) + 劬( z ) ( 乃( t 一，z ) ) 一乃( t u ) ) ) ， j = l 由( 风) 得 垒装盟a a v ( t ，z ) + b j a v ( t 一乃，z ) + c ( z ) ( ，z ) ( 2 2 4 ) a a v ( t ，z ) - 4 - b j a v ( t 一乃，z ) 4 - 铡( t ，z ) j = l m t i e 瑶 一死，z ) - 4 - e 劬v ( t 一乃，z ) ( 2 2 4 ) 式关于x 在q 上积分，并由g r e e n 公式及边界条件，当t t 时，有 p m 州z = 上珈一o ， a y ( t 嘞驰= z 嘉扣。， 令y ( t ) = 南厶秽( t ，z ) 如，俐= f n d x ，则y ( t ) 是 即) 一c v ( t ) + p ；v ( t 一瓦) 一q j n j v ( t 一乃) 0 ( 2 2 5 ) 的最终正解而由( 2 2 3 ) 和引理2 1 。1 知( 2 2 5 ) 无最终正解，矛盾 情形2 ：当( t ，z ) 【t ，。o ) q ，u ( t ，z ) 0 ， z ( 0 ，丌) 方程( 2 3 1 ) 的平衡态方程为 _ | ( z ) + 群2 o ， ( 2 3 3 ) 1w ( o ) = 叫( 7 r ) = 1 、 令砬= 圣( z ) ，霞= m ，其中m 充分大易知豇，砬是方程( 2 3 3 ) 的上下解 则由文【3 6 】知，( 2 3 3 ) 存在唯一非常数正解叫( z ) ，并满足 色w ( x ) 色，z ( 0 ，7 r ) 且有 ， 0 ，b i f l 0 ，q 0 ，p i 。0 ，町 0 ，+ o 。) ，i i m = 1 ，m ，z k ，j 厶= l ，n ) ，8 厶= 1 ，七) 其中，h c ( g ，冗) ，且对i i m ，h i 满足 ，、i ( z ，u l ，u t ，让r r i ) 一h i ( x ，w l ，w i ，叫m ) 0 ，u i w i ； 、7 lh i ( x ，u l ，u i ，乱m ) 一h i ( x ，w l ，w i ，似m ) 冬0 ，u i 0 和初值条件： 让t ( 目，z ) = 晚( p ，z ) ，( p ，z ) 【- - p ，0 ) q ( 3 1 3 ) 其中表示a q 的单位外法向量，p ) 是非负连续函数，7 = m a x r 1 ，亿 ， 仃= m a x 0 1 ，) ，p = m a x ，7 - ，仃) 第11 页，共2 8 页 第三章一类非线性多时滞抛物型方程组关于平衡态振动的充分条件 关于方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 解的存在性可参见文 1 】 文中，记 矿2 l m s t i s n mc ，p ：21 蛩甄a s 3 1 基本知识和假设 假设问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 存在平衡态坝( z ) ，即 l a i n w i ( x ) 4 - b 巧t a w t ( x ) 一( q + p i 。) 叫t ( z ) 一九( z ，( z ) ) 罂1 ) 一妻南( 伽( z ) ) = o ，z q ， ( 3 1 4 ) l j = 1 ib w i ( x ) = 仇( z ) ，z a q 定义3 1 1 称向量函数u ( t ，z ) = u 1 ( t ，z ) ，坳( ，z ) ，u m ( 亡，z ) ) t c 1 ，2 ( g ) nc ( 召) 为初边值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的解，若其在区域g 三风q 内满足方程( 3 1 1 ) 及其相应的初边值条件 定义3 1 2 称向量函数u ( t ，z ) = _ u 1 ( ，z ) ，坳( 屯z ) ，u m ( 亡，z ) - t c 1 ，2 ( g ) nc ( 召) 的某个分量t ( t ，茁) 在区域g 内关于平衡态w i ( x ) 振动若 对任意t 0 ，存在点( t o ，铂) 【t ，o 。) q 使得u t ( t o ，x o ) = 毗( z o ) 定义3 1 3 称问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的解u ( t ，z ) = u 1 ( t ，z ) ，u 2 ( t ，z ) ， ( t ，茹) ) t 在区域g 内振动，如果u ( t ，z ) 至少有一个分量是振动的否则u ( t ，z ) 是非振动的 3 2 主要结论 定理3 2 1 假设成立 1 ) 存在0 ，其中i k ，j 厶，使得厶( 乱) 满足l i p s c h i t s 条件： l 向( 缸) 一向( u ) l a 二i u l 一忱i ； 1 = 1 ( a 2 ) 肚1 m 垡i n m ( , 入o a i + 龟) o ，s j 2 l m 垡i n m ( 6 蛳知一z 嚣t b 巧t a o - 善) o ； ( a 3 ) p ：e x p ( a r s ) + 马乃e x p ( a a j ) ： s = l j = l 第1 2 页，共2 8 页 第三章一类非线性多时滞抛物型方程组关于平衡态振动的充分条件 则在b u = “时，方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的所有解关于平衡态振动 证明假设问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 存在非振动解u ( t ，z ) = i t l ( 亡，z ) ，u 2 ( 亡，z ) ， ，u m ( t ，z ) 】i t ，则对某个t 0 ，当( t ，z ) 陬。) q 时，有( t ，z ) 一w t ( z ) i 0 ，i k 令仇( t ，z ) = 讹 ，z ) 一妣( z ) ，盈= s g n 地( 芒，z ) ，则y d t ，z ) = 5 t v i ( t ，。) 0 ，令 乃= t + p ，则t 丑时，有 轨( 芒，z ) 0 ，鼽( 一，z ) 0 ，y d t 一乃，z ) 0 把地( 亡，z ) = 讹( t ，z ) 一毗 ) ，( t ，z ) 陬，o 。) q ，代入( 3 1 1 ) ，有 幽o t= 。 ( 优( t ，z ) + 妣 ) ) + 壹苎z ( 饥 一町，z ) + w l ( z ) ) k q ( 仇( t ，z ) + 伽t p ) ) 一p i 。( 仇 一，z ) + 毗( z ) ) s = l t l h i ( x ，( u d t ，z ) ) 罂。) 向( 让( 一乃，z ) ) ， j = x 由( 3 1 4 ) 得 塑铲：口t a v i ( t ，z ) + 壹量f 仇( 一乃，z ) 一q 仇( t ，z ) j = 1 1 = 1 由( 术) 有 蠹 s = l 几 j = l p i 。仇 一，z ) 一( h i ( x ，( u t ( t ，z ) ) 罂1 ) 一h i ( x ，( 叫l ( z ) ) 罂1 ) ) ( 向( 让( t 一乃，z ) ) 一向( 伽( z ) ) ) ， 掣a i a y i ( ) + 簦跏吲t 一咿) 一酬) 一 n + l j = l 由( a 1 ) 得 o v i 巩( t , z 2 ( 向( u 一乃，z ) ) 一向( 伽 ) ) i ， a a y i ( t ，z ) + 岳b o i a y t ( t 一乃，z ) 一q 玑( ，z ) j = 1 1 = 1 七nm ep i 。玑( 亡一，z ) + m t j y t ( t 一乃，z ) s - - - - 1 j = 11 = 1 第1 3 页，共2 8 页 ( 3 2 1 ) z 一 玑8阢 七耐 第三章一类非线性多时滞抛物型方程组关于平衡态振动的充分条件 在( 3 2 1 ) 式两边乘以( 2 1 6 ) 的特征函数垂( z ) ，关于z 在q 上积分，得到 爱矗轨( t ，z ) 垂( z ) 出a i 厶玑( t ，x ) d 2 ( x ) d x + 薹圣鲁l 犰 一乃，z ) 圣( z ) 如 j 一1 一 老 一q 厶轨 ，z ) 西( z ) 如一a 。厶玑 一，z ) 垂( z ) 如 nt n 8 = 1 + m , j 矗y t ( t 一乃，z ) 圣( z ) 出 j = 1 1 = 1 由g r e e n 公式及引理2 1 2 ，当t t 时，有 f oa y , ( t ，z ) 垂( z ) d z = 厶q 垂( z ) 磐d s 一厶帆轨旦甏竽d s + f ay i a o ( x ) d x = 厶y i a o ( x ) d x = 一知矗y i ( t ，x ) o ( x ) d x ， | a y d t a j ，x ) o ( x ) d x = 一l h | 曾l b o j ，x ) o ( x ) d x 其中d s 是a q 上的面积元素 令k ( ) = 矗垂( z ) d 叫q 厶玑( t ，x ) o ( x ) d x ，则有 垡必o t一入o o t k ( t ) 一e b u i ) 、o v i ( t 一乃) + ez 入o ( t 一乃) j = l j = l1 = 1 。z l 七nm ( 3 2 2 ) 一q k ( t ) 一p i 。k ( t 一) + m u ( t 一乃) s - - 1 j = 1 1 = 1 令v ( t ) = k ( ) 0 ，t t ，不等式( 3 2 2 ) 按i = 1 ，2 ，m ，垂直相加， 并结合( a 2 ) 可得y ( 亡) 是 竹奄 v 7 ) + a y ) + b j v ( t 一乃) + p ；v ( t l ) 0 ( 3 2 3 ) j = l 8 = 1 的最终正解由( a 2 ) ( a 3 ) 和引理2 。1 。1 知( 3 。2 3 ) 式无最终正解，矛盾 因此，方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的所有解关于平衡态振动 推论3 2 1 假设成立条件 ( 日1 ) 向c 1 ( 舻，冗) ，i 杀局( 1 w l _ 1 乱f 黜+ 1 ，乱m ) l ；1 则在b u = 乱时，方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的所有解关于平衡态振动 类似定理3 1 1 的证明，可得 定理3 2 2 假设成立条件 ( ) 向c 1 ( 尺咿，冗) ，i k ，j 厶， 当z i 时，存在g q z 0 ，使得l 矗向( 叫1 ，w l l ，如，u l + l ，乱m ) i g 讹 当f = i 时，存在如 0 ，使得杀向( 叫l ，w i l ，札t