高考数学大一轮复习 8.7立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课件 理 苏教版.ppt

8 7立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a与n的夹角为 则sin cos 3 求二面角的大小 1 如图 ab cd是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 4 利用空间向量求距离 供选用 1 两点间的距离设点a x1 y1 z1 点b x2 y2 z2 则ab 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 4 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 5 直线l的方向向量与平面 的法向量夹角为120 则l和 所成角为30 6 若二面角 a 的两个半平面 的法向量n1 n2所成角为 则二面角 a 的大小是 90 2 90 解析 不妨设pm a pn b 如图 作me ab于e nf ab于f epm fpn 45 解析 二面角 ab 的大小为90 答案 思维升华 解析 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 解析方法一由于 bca 90 三棱柱为直三棱柱 且bc ca cc1 可将三棱柱补成正方体 建立如图 1 所示空间直角坐标系 设正方体棱长为2 则可得a 0 0 0 b 2 2 0 m 1 1 2 n 0 1 2 答案 思维升华 解析 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 思维升华 解析 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角 再根据余弦定理求解 如图 2 取bc的中点d 连结mn 因此有nd綊bm 则nd与na所成的角即为异面直线bm与an所成的角 答案 思维升华 解析 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 思维升华 解析 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 思维升华 解析 用向量法求异面直线所成角的一般步骤是 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 思维升华 解析 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 题型一求异面直线所成的角 例1 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 思维升华 解析 跟踪训练1长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 解析建立坐标系如图 则a 1 0 0 e 0 2 1 b 1 2 0 c1 0 2 2 题型二求直线与平面所成的角 例2 2014 北京 如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 1 求证 ab fg 证明在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde 题型二求直线与平面所成的角 例2 2014 北京 如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 1 求证 ab fg 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 解析 思维升华 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解因为pa 底面abcde 所以pa ab pa ae 如图建立空间直角坐标系a xyz 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 设平面abf的一个法向量为n x y z 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线bc与平面abf所成角为 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 设点h的坐标为 u v w 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 即 0 1 1 2 2 2 0 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 解析 思维升华 思维点拨 跟踪训练2 2013 湖南 如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 1 证明 ac b1d 2 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 方法一 1 证明如图 因为bb1 平面abcd ac 平面abcd 所以ac bb1 又ac bd 所以ac 平面bb1d 而b1d 平面bb1d 所以ac b1d 2 解因为b1c1 ad 所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角 记为 如图 连结a1d 因为棱柱abcd a1b1c1d1是直棱柱 且 b1a1d1 bad 90 所以a1b1 平面add1a1 从而a1b1 ad1 又ad aa1 3 所以四边形add1a1是正方形 于是a1d ad1 又因为a1b1 a1d a1 故ad1 平面a1b1d 于是ad1 b1d 由 1 知 ac b1d 且ac ad1 a 所以b1d 平面acd1 故 adb1 90 在直角梯形abcd中 因为ac bd 所以 bac adb 连结ab1 易知 ab1d是直角三角形 方法二 1 证明易知 ab ad aa1两两垂直 如图 以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ab t 则相关各点的坐标为a 0 0 0 b t 0 0 b1 t 0 3 c t 1 0 c1 t 1 3 d 0 3 0 d1 0 3 3 设n x y z 是平面acd1的一个法向量 设直线b1c1与平面acd1所成角为 则 题型三求二面角 例3 2013 课标全国 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别是ab bb1的中点 aa1 ac cb ab 1 证明 bc1 平面a1cd 证明连结ac1交a1c于点f 则f为ac1的中点 又d是ab的中点 连结df 则bc1 df 题型三求二面角 例3 2013 课标全国 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别是ab bb1的中点 aa1 ac cb ab 1 证明 bc1 平面a1cd 因为df 平面a1cd bc1 平面a1cd 所以bc1 平面a1cd 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 建立如图所示的空间直角坐标系c xyz 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 设ca 2 则d 1 1 0 e 0 2 1 a1 2 0 2 设n x1 y1 z1 是平面a1cd的法向量 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 同理 设m是平面a1ce的法向量 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求二面角d a1c e的正弦值 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3 2014 课标全国 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧面bb1c1c为菱形 ab b1c 1 证明 ac ab1 证明连结bc1 交b1c于点o 连结ao 因为侧面bb1c1c为菱形 所以b1c bc1 且o为b1c及bc1的中点 又ab b1c ab bo b 所以b1c 平面abo 跟踪训练3 2014 课标全国 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧面bb1c1c为菱形 ab b1c 1 证明 ac ab1 由于ao 平面abo 故b1c ao 又b1o co 故ac ab1 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 解因为ac ab1 且o为b1c的中点 所以ao co 又因为ab bc 所以 boa boc 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 故oa ob 从而oa ob ob1两两互相垂直 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 因为 cbb1 60 所以 cbb1为等边三角形 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 设m是平面a1b1c1的法向量 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 思维点拨 解析 思维升华 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 以cd的中点为原点 建立空间直角坐标系 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 思维点拨 解析 思维升华 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 如图 取cd的中点o 连结ob om 因为 bcd与 mcd均为正三角形 所以ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 所以mo 平面bcd 以o为坐标原点 直线oc bo om分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 思维点拨 解析 思维升华 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 因为 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 设平面mbc的法向量为n x y z 思维点拨 解析 思维升华 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 思维点拨 解析 思维升华 求点面距一般有以下三种方法 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 等体积法 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练4如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 d是棱cc1上的一点 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点 且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 证明连结ab1交ba1于点o b1p 平面bda1 b1p 平面ab1p 平面ab1p 平面ba1d od b1p od 又 o为b1a的中点 d为ap的中点 c1d aa1 c1为a1p的中点 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 解建立如图所示的空间直角坐标系a1 xyz 设平面ba1d的一个法向量为n x y z 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 令z 2 则x 2 y 1 n 2 1 2 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 由图形可知二面角a a1d b为锐角 3 求点c到平面b1dp的距离 设平面b1dp的一个法向量为n x y z 3 求点c到平面b1dp的距离 答题模板系列6利用空间向量求解空间角 典列 14分 2013 广东 如图 1 在等腰直角三角形abc中 a 90 bc 6 d e分别是ac ab上的点 cd be o为bc的中点 将 ade沿de折起 得到如图 2 所示的四棱锥a bcde 其中a o 1 证明 a o 平面bcde 证明在题图 1 中连结ao交de于点g 在题图 2 中连结a g og 如图所示 a g de bc de a g bc 又og bc a g og g bc 平面a og 又a o 平面a og bc a o 连结od 在 ocd中 规范解答 a o od bc od o a o 平面bcde 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 2 求二面角a cd b的平面角的余弦值 在 2 的求解中 可以以o为原点 以过o在平面bcde内与bc垂直的直线和bc oa 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 用向量法求解 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 解以o点为原点 建立空间直角坐标系o xyz 如图所示 设平面a cd的法向量n x y z 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 利用向量求空间角的步骤 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 1 利用向量求空间角是高考的热点 几乎每年必考 主要是突出向量的工具性作用 2 本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴 导致建系不规范 3 将向量的夹角转化成空间角时 要注意根据角的概念和图形特征进行转化 否则易错 思维点拨 规范解答 答题模板 温馨提醒 方法与技巧 1 用向量来求空间角 都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算 问题的关键在于确定对应线段的向量 2 求点到平面的距离 若用向量知识 则离不开以该点为端点的平面的斜线段 失误与防范 1 利用向量求角 一定要注意将向量夹角转化为各空间角 因为向量夹角与各空间角的定义 范围不同 2 求点到平面的距离 有时利用等体积法求解可能更方便 3 求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角为 解析设直线l与 所成角为 30 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1 ca cc1 2cb 则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为 解析设ca 2 则c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 0 1 c1 0 2 0 b1 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 2013 山东改编 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直 体积为 底面是边长为的正三角形 若p为底面a1b1c1的中心 则pa与平面abc所成角的大小为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 如图所示 三棱柱abc a1b1c1的侧棱长为3 底面边长a1c1 b1c1 1 且 a1c1b1 90 d点在棱aa1上且ad 2da1 p点在棱c1c上 则的最小值为 解析建立如图所示的空间直角坐标系 则d 1 0 2 b1 0 1 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 若ab pa 则平面abp与平面cdp所成的二面角为 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设ab pa 1 知a 0 0 0 b 1 0 0 d 0 1 0 c 1 1 0 p 0 0 1 由题意得 ad 平面abp 设e为pd的中点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 连结ae 则ae pd 又 cd 平面pad ae cd 又pd cd d ae 平面cdp 而 45 平面abp与平面cdp所成的二面角为45 答案45 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为cc1的中点 则直线de与平面a1bc1的夹角的正弦值为 解析设正方体的棱长为2 直线de与平面a1bc1的夹角为 建立如图所示的坐标系 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 则d 0 0 0 e 0 2 1 b1 2 2 2 db1 平面a1bc1 连结db1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 已知点e f分别在正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于 解析延长fe cb相交于点g 连结ag 设正方体的棱长为3 则gb bc 3 作bh ag于点h 连结eh 则 ehb为所求二面角的平面角 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别为bb1 cd的中点 则点f到平面a1d1e的距离为 解析以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 设平面a1d1e的一个法向量为n x y z 令z 2 则x 1 n 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 2014 江西 如图 四棱锥p abcd中 abcd为矩形 平面pad 平面abcd 1 求证 ab pd 证明因为四边形abcd为矩形 故ab ad 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以ab 平面pad 又pd 平面pad 故ab pd 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 若 bpc 90 pb pc 2 问ab为何值时 四棱锥p abcd的体积最大 并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值 解过p作ad的垂线 垂足为o 过o作bc的垂线 垂足为g 连结pg 故po 平面abcd bc 平面pog bc pg 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 故四棱锥p abcd的体积为 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 四棱锥p abcd的体积最大 此时 建立如图所示的坐标系 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 各点的坐标为o 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 设平面bpc的一个法向量n1 x y 1 解得x 1 y 0 n1 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 从而平面bpc与平面dpc夹角 的余弦值为 10 2013 天津 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱a1a 底面abcd ab dc ab ad ad cd 1 aa1 ab 2 e为棱aa1的中点 1 证明 b1c1 ce 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 证明如图 以点a为原点 分别以ad aa1 ab所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 依题意得a 0 0 0 b 0 0 2 c 1 0 1 b1 0 2 2 c1 1 2 1 e 0 1 0 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求二面角b1 ce c1的正弦值 设平面b1ce的法向量m x y z 消去x 得y 2z 0 不妨令z 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 可得一个法向量为m 3 2 1 由 1 知 b1c1 ce 又cc1 b1c1 可得b1c1 平面cec1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 设点m在线段c1e上 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为 求线段am的长 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 设 为直线am与平面add1a1所成的角 则 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 设棱长为1 2 3 4 5 1 设平面a1ed的一个法向量为n1 1 y z 平面abcd的一个法向量为n2 0 0 1 2 3 4 5 1 2 在四面体p abc中 pa pb pc两两垂直 设pa pb pc a 则点p到平面abc的距离为 解析根据题意 可建立如图所示的空间直角坐标系p xyz 则p 0 0 0 a a 0 0 b 0 a 0 c 0 0 a 过点p作ph 平面abc 交平面abc于点h 则ph的长即为点p到平面abc的距离 2 3 4 5 1 过点p作ph 平面abc 交平面abc于点h 则ph的长即为点p到平面abc的距离 pa pb pc h为 abc的外心 又