江苏省西亭高级中学高中数学《4.2.1曲线的极坐标方程的意义课件 新人教A版选修44.ppt

4 2 1曲线的极坐标方程的意义 1 直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置 2 曲线的方程和方程的曲线 直角坐标系中 定义 3 求曲线方程的步骤 复习回顾 1 情境 以极点o为圆心 1为半径的圆上任意一点极径为1 反过来 极径为1的点都在这个圆上 知识探究 2 问题 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗 因此 以极点为圆心 1为半径的圆可以用方程 1来表示 3 定义 一般地 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f r q 0 反之 极坐标适合方程f r q 0的点在曲线上 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线 在直角坐标平面上 曲线可以用x y的二元方程f x y 0来表示 这种方程也称为曲线的直角坐标方程 同理 在极坐标平面上 曲线也可以用关于r q的二元方程f r q 0来表示 这种方程称为曲线的极坐标方程 由于点的极坐标表示不唯一 因此 在极坐标系中 曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标 但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程 由于点的极坐标表示不唯一 导致曲线的极坐标方程也不唯一 如 以极点o为圆心 1为半径的圆可以用方程r 1表示 也可以用方程r 1表示 说明 例1求过点a 2 0 且垂直于极轴的直线的极坐标方程 解 如图所示 在所求直线l上任取一点p r q 连结op 则op r poa q 在rt poa中 由于opcosq oa 所以rcosq 2 所以rcosq 2为所求直线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程 类似于曲线直角坐标方程的求法 可以求曲线的极坐标方程 变式训练1 已知点p的极坐标为 1 那么过点p且垂直于极轴的直线极坐标方程 例2求圆心在c r 0 半径为r的圆的极坐标方程 解 如图所示 则 op oa cos poa 所以 所求圆的极坐标方程为r 2rcosq 设p r q 为圆上任意一点 由于op ap 即r 2rcosq oa 2r poa q 变式训练2 求圆心在c r 2 半径为r的圆的极坐标方程 解 如图所示 由题意可知 所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上 而圆周经过极点 设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为a 则a的极坐标为 2r 2 设圆上任意一点为p 连结pa 则 op pox 在rt poa中 由于cos poa op oa 所以 2rsin 为所求圆的极坐标方程 特别地 我们知道 在直角坐标系中 x k k为常数 表示一条平行于y轴的直线 y k k为常数 表示一条平行于x轴的直线 我们可以证明 具体从略 在极坐标系中 r k k为常数 表示圆心在极点 半径为k的圆 k k为常数 表示极角为k的一条直线 过极点 第一步建立适当的极坐标系 第二步在曲线上任取一点p r q 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式 第四步用极坐标r q表示上述等式 并化简得极坐标方程 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程 求曲线极坐标方程的基本步骤 例3 1 化在直角坐标方程x2 y2 8y 0为极坐标方程 2 化极坐标方程 6cos q 3 为直角坐标方程 数学运用 1 把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程 1 rcosq 4 2 r 5 3 r 2rsinq 1 解 把代入上式 得它的直角坐标方程x 4 把r2 x2 y2代入上式 得它的直角坐标方程x2 y2 25 变式训练3 2 解 两边同时平方 得r2 25 3 解 两边同时乘以r 得r2 2rrsinq 把r2 x2 y2 rsinq y代入上式 得它的直角坐标方程x2 y2 2ry即x2 y r 2 r2 1 在极坐标系中 我们可以用一个角度和一个距离来